委托-理论分析框架下的保险最优合同设计

时间:2022-09-21 09:19:35

委托-理论分析框架下的保险最优合同设计

摘要:本文分别针对保险人与投保人之间信息对称和存在道德风险的两种情况,使用委托-理论分析框架,建立了相应的保险合同分析模型,对各情况下的最优保险合同的性质进行了研究。通过建模求解分别得出了在各自情况下如何设计保险合同,可以使双方达到帕累托最优的风险分担。

关键词:委托-理论;道德风险;最优合同设计;

一、引言

1.问题的提出

理论上来说,委托-问题的产生是由于委托人和人的效用函数经常不一致。就保险合同来说,保险合同一旦成立后,保险人对保险标的的监督成本很高,或者根本没有办法监督。保险事故实际上并不完全是由外生的随机因素决定的,并且还受投保人在购买保险以后的行为的影响,即投保人的行为还将改变风险状况(损失概率)。产生了在委托的成本(Agency Costs),委托双方的目标函数不一致,相关信息在双方之间的分布不对称,投保人有其自身独立的经济利益,有可能在追求自身利益最大化的过程损害保险人的权益,如果投保人对其约束不力,从而会产生一些损人利己的“违约”和败德行为。在保险人不能监督投保人的行动的前提下,一方面,投保人付出努力会对他产生直接的负效用,而其潜在的积极影响是可能会避免损失的发生或减少损失的大小。但是,由投保人努力所导致的积极影响并不会由投保人独享,而是和保险人共享的。所以投保人就会有节省努力的需求。另一方面,保险公司提供保险服务,是对施加于投保人身上的不可控制又不可确知的外生风险所造成的损失提供物资补偿。从某种意义上来说,就等于人为地使风险发生的可能性变大,从而使赔付事件发生的可能性增大。所以保险公司就会激励投保人在投保后仍然不放松对所保事件的防范措施。

本文主要讨论委托人在与人签订合同时,在信息不对称条件下,委托人以能够观察到的结果为基础,对人提供激励,即通过设计一份激励合同以诱使人在给定的自然状态下做出对委托人最有利的选择。即可以采取适当的激励与约束机制使得委托双方互惠互利、彼此制衡。

2.文献综述

进入20世纪70年代以后,由于科斯的产权理论和威廉姆森等人的交易费用理论的发展,信息经济学和合同理论在微观经济学领域的突破,始于科斯、伯利、米恩斯的现代企业委托-理论。其主要结论包括:

(1)解决问题的显性激励方法

由威尔森(1969)、罗斯(1973)、米尔利斯(1974)、霍姆斯特姆(1979)以及格罗斯曼和哈特(1983)等人开创的委托-理论和应用模型分析,主要解决委托-关系中存在的信息不对称问题。他们根据信息不对称理论研究提出激励措施是在委托人于与人之间按一定的合同财产剩余索取权的分配,将剩余分配与经营绩效挂钩,这是目前绝大多数两全分离的公司实行激励经理努力的方法,不同的只是剩余索取权的分配比例。1972年,阿尔钦和德姆塞茨提出的团队理论,认为企业采取团队模式进行生产使得每一个成员的努力程度不可能精确度量,这会导致人们“搭便车”式的机会主义行为产生。为此需要设立监督者,并以剩余索取权对监督者进行激励,这将企业的交易费用从企业外部的市场交易领域扩展到企业内部的现代成本领域。1976年,詹森和麦克林在《公司理论:管理行为、成本和资本结构》一文中用“成本”的概念,提出了与上述交易费用理论相类似的观点,认为“成本”是企业所有权结构的决定因素,让经营者成为完全剩余索取权的拥有者,可以降低甚至消除成本。因此,越来越多的学者,包括夏皮罗和斯蒂格利茨(1984)以及布卢(1985),仍强调监督的重要性,霍姆斯拉姆和蒂罗尔在《企业理论》(1982)一文的综述中进一步强调了剩余所有权在解决企业激励问题上的重要性。

(2)解决问题的隐性激励方法

20世纪80年代末,经济学将动态博弈理论引入委托-关系的研究中,论证了在多次重复博弈关系情况下,竞争、声誉等隐性激励机制能够发挥激励人的作用,充实了长期委托-关系中激励理论的内容。法玛(1980)的研究是其代表,他的观点是:在竞争性经理市场上,经理的市场价值决定于其过去的经营业绩,从长期来看,经理必须对自己的行为负完全的责任。因此,即使没有显性激励合同,经理也会积极性努力工作,因为这样做可以改进自己在经理市场上的声誉,从而提高未来的收入。霍姆斯特姆(1982)将上述思想模型化,并形成人-声誉模型。伦纳德(1981)和鲁宾斯坦(1982)使用重复博弈模型证明,如果委托人和人之间保持长久的关系,双方都有足够的耐心(贴现因子足够大),那么帕累托一级最优风险分担和激励就可以实现。

3.主要结论

本文使用委托-理论建立了相应的保险合同分析模型,对信息对称和存在道德风险两种情况下的最优保险合同的性质进行了研究。首先证明了信息对称时,最优保险合同要求完全保险,从而可以达到帕累托最优的风险分担,而且此时最优保险费等于意外事件造成损失的期望值。针对投保人的行为影响所保事件发生,但不影响损失大小的情况,存在道德风险时,出于激励的目的,最优保险合同要求只提供部分保险,最优保险费小于意外事件造成的期望损失,而且随着意外事件造成损失的增大,投保人所遭受的实际损失也应该增大。在两种情况下,最优保险费都与投保财产成反比。

二、正文

1.不存在道德风险时的最优保险合同设计

以下分析中,将人替换为投保人,而将委托人替换为保险人。在这里使用基于“分布函数的参数化方法”的委托-模型。

假设投保人的初始财富为w0,意外事件所造成的损失为x,x为一个随机变量。因为这里考虑投保人的行动只影响所保事件发生的概率,所以可以假设意外事件不发生时的概率为1-p(a),而意外事件发生并造成损失为x的概率为p(a)f(x)。显然投保人付出的努力越多,意外事件发生的概率就越小,即p′(a)<0。

保险费率为δ,保险金额为π,即投保人应向保险人支付的保险费为δπ;如果意外事件发生(x>0),承保人向投保人支付的赔偿费为g(x)满足以下关系:

g(x)=x,称为完全保险;

<x,称为这完全保险;

=0,称为在免赔额以下;

a)如果g(x)=x,则称为完全保险,即投保人发生的属于保险责任事故范围内的损失,保险人全额赔付;

b)如果g(x)<x,则称为不完全保险(部分保险),其中x-g(x)称为免赔额或者自负额(Deductible),记为D。

c)如果g(x)=0,则称为投保人发生的损失在免赔额以下,即:x<D。

人的效用函数为u,且人为风险厌恶的,即u′>0而u″<0。委托人为风险中性,因此可以假设委托人的效用函数为线性的。

鉴于上述的假设,我们可以建立如下的基于委托-理论的最优保险合同模型:

maxg(x),δf(0)u(w0-δπ)+∫x>0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx(1.1)

s.t.δπ-∫x>0g(x)f(x)dx≥0(1.2)

进一步,我们假设保险市场是完全竞争的,即竞争使得保险公司不能从保险活动中赚取超额利润,则上述最优化问题中约束条件,即(1.2)中的等号成立。

显然,以上的最优化问题中并没有考虑一般委托-模型中的人参与约束,这是因为模型中已经确保在满足保险人的参与约束的情况下,最大化投保人参加保险后的期望效用。如果投保人按照此合同(即保险人的利润为零)得到的参保后的期望效用水平仍然不能高于(至少等于)他不参保时的期望效用,那就说明此类风险是不可保的。众所周知,生活中确实存在不可保险的风险情况,如一些巨灾风险,战争风险等。另外不可避免的道德风险,造成保险人的监督成本极高,极可能就是造成风险不可保的直接原因。因此,以上模型实际上已经在可保风险的范围内涵盖了投保人的参与约束。

针对以上的最优化问题,可以构造如下的拉格郎日函数:

L(g(x),δ)=f(0)u(w0-δπ)+∫x>0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx+λ[δπ-∫x>0g(x)f(x)dx](1.3)

为方便起见,令v1=w0-δπ,v2=w0+g(x)-x-δπ,对于保险赔付金额g(x)的一阶条件为:

u′(v2)-λ=0(1.4)

对于保险费率δ的一阶条件为:

f(0)u′(v1)+∫x>0u′(v2)f(x)dx=λ(1.5)

根据库恩―塔克条件可知为一个正的常数(因为约束条件的等号成立),由(1.4)式显然可得帕累托最优的风险分担。将(1.4)式代入(1.5)式可得:u′(v1)-λ=0,因为λ是个正的常数,显然有v1=v2,且为一常数,即可得:

g(x)-x=0(1.6)

将(1.6)代入约束条件就有:

δπ=E(x),即δ=E(x)π

根据以上证明过程可以推知:在没有道德风险的情况下,最优保险合同可以实现风险分担的帕累托最优,投保后如果所保意外事件发生,则投保人所遭受的实际损失g(x)-x与x无关,而且最优合同要求完全保险;最优保险费δπ等于所受损失的期望值E(x)。

从上面的分析可见,由于委托人的风险态度为中性的,投保人应付给保险公司的保险费恰好等于损失变量的期望值。显然上述最优合同达到了帕累托最优的风险分担。而投保人应支付给承保方的保险费率δ,E(x)的严格单调递增函数,也就是可能遭受损失的期望值越大,保险费率越高;而与总保险财产成反比,总保险财产越大,保险费率则越低。

2.存在道德风险情况下的最优保险合同设计

在上述不存在道德风险最优保险合同模型中,加入投保人的一个行动,即该行动将会对投保人所投保的风险发生事故的概率产生影响。用A表示投保人所有可选择的行动的组合,a表示人的一个特定行动,并且有a∈A。理论上讲,行动可a以是任何维的决策向量,但为了分析的方便,我们假定a是代表防范行动水平的一维变量,即投保人在向保险人投保之后,对保险标的所进行的看护、照管以及所有使保险标的发生保险事故概率降低的防范努力。c(a)为投保人的防范努力负效用,这里假设c(a)为效用化成本,且有c′>0,c″>0。

在以上的假设条件下,可以建立存在道德风险情况下的最优保险模型:

maxδ,g(x),a[1-p(a)]u(w0-δπ)+p(a)∫x>0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx-c(a)(2.1)

s.t.δπ-p(a)∫x>0g(x)f(x)dx≥0(2.2)

maxa[1-p(a)]u(w0-δπ)+p(a)∫x>0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx-c(a)(2.3)

进一步,我们仍然假设保险市场是完全竞争的,即竞争使得保险公司不能从保险活动中赚取超额利润,则上述最优化问题中约束条件,即(2.2)中的等号成立。

显然,以上的最优化问题中同样没有考虑一般委托-模型中的人参与约束,同理,这是因为模型中已经确保在满足保险人的参与约束的情况下,最大化投保人参加保险后的期望效用。如果投保人按照此合同(即保险人的利润为零)得到的参保后的期望效用水平仍然不能高于(至少等于)他不参保时的期望效用,因此,以上模型实际上已经在可保风险的范围内涵盖了投保人的参与约束。

我们可以用一阶条件来表示如上模型中第二个约束条件(2.3),即人的激励相容约束条件:

-p′(a)u(w0-δπ)+p′(a)∫x>0u(w0+g(x)-x-δπ)f(x)dx=c′(a)(2.4)

因此,保险合同可以化为由(2.1)、(2.2)和(2.4)式组成的最优化问题,(2.1)式为目标函数,(2.2)式和(2.4)式为约束条件。对以上问题构造拉格朗日函数,为了简便,令v1=w0-δπ,v2=w0+g(x)-x-δπ有:

L(g(x),δ,a)=[1-p(a)]u(v1)+p(a)∫x>0u(v2)f(x)dx-c(a)+λ[δπ-p(a)∫x>0g(x)f(x)dx]+μ[-p′(a)u(v1)+p′(a)∫x>0u(v2)f(x)dx-c′(a)](2.5)

对于赔偿方案g(x)的一阶条件为:

u′(v2)p(a)-λp(a)+μu′(v2)p′(a)=0(2.6)

引理:以上最优化问题中第二个约束条件的拉格朗日乘子μ>0。

证明:由(5)式可得对人行动a的一阶条件为:

λp′(a)∫x>0g(x)f(x)dx+μ[-p″(a)∫x>0u(v2)f(x)dx-c″(a)]=0(2.7)

上式隐含地给出了参数μ的定义,方括号内的表达式是人

(投保人)激励相容约束的二阶条件,因此肯定小于。而根据假设x>0时,g(x)>0,p′<0,所以上式左边第一项大于,故而有μ>0。证毕

故(2.6)其中为正的常数,且μ不能为,否则激励相容约束将不起作用。显然有:

u′(v2)=λp(a)p(a)+μp′(a)=λ1+μp′(a)p(a)(2.8)

定理:在投保人的行为只影响所保事件发生概率的情况下,最优保险合同要求部分保险,但投保后如果所保意外事件发生,则投保人所遭受的实际损失g(x)-x与x无关,可以达到帕累托最优的风险分担。

证明:最优赔偿方案表达式(2.8)式右边是一个与损失x无关的常数,显然v2也是与x无关的,投保人所承受的损失g(x)-x也与x无关,即风险厌恶的投保人只承担固定的损失,投保事件造成损失的不确定性全部由风险中性的承保方承担,所以达到了帕累托最优的风险分担。

另外,由(2.5)式可得对于保险费率δ的一阶条件为:

-(1-p(a))u′(v1)-p(a)∫x>0u′(v2)f(x)dx+μ[p′(a)u′(v1)-p′(a)∫x>0u′(v2)f(x)dx]+λ=0

将(2.8)式代入上式,可得:

u′(v1)=λ(1-p(a))1-p(a)-μp′(a)=λ1-μp′(a)(1-p(a))(2.9)

由上式可见等式右边是一个与x无关的常数,故而保险费δπ也是与x无关的常数,可写作δπ=k,即保险费率与总保险财产成反比。由于μ>0,p′(a)<0,比较(2.8)式和(2.9)式可得:u′(v1)<u′(v2),而根据投保人风险厌恶(u″<0)的假设,可知v2<v1,即g(x)-x<0,所以最优保险合同要求部分保险。证毕

三、结论

本文就信息对称与存在道德风险的情况,应用委托―理论建立了一种保险产品设计的模型。在信息对称情况下,当保险人为风险中性,被保险人为风险回避型时,最优保险合同是帕累托最优风险分担的,且此时的保单是完全保险形式,损失受到全部赔付。在信息不对称的情况下,且投保人是绝对风险回避时,因为投保人存在道德风险,最优保单不能达到帕累托最优的风险分担,因而在保单设计时必须考虑对被保险人的激励问题。当保险人为风险中性,被保险人为风险回避型时,讨论了最优保单应具有的特征与性质。这时特别要求保险产品必须具有对被保险人的道德风险进行激励的功能与机制。随着我国保险业对外的全面开放,本文的结论,可以为广泛开展各类保险业务提供理论依据。

参考资料:

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(作者单位:华南师范大学经济管理学院)

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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