Matlab求解方同轴波导的截止波长和特性阻抗

摘 要：采用有限差分法利用Matlab求解了方同轴波导的特性阻抗和高次模的截止波长并画出了场结构图，将所得数据与国外文献数据进行了对比，证明了有限差分法结合Matlab在分析简单截面的同轴波导时是简单可行的，而且计算精度较高，通用性强，可以用于传输线工程问题的设计和计算。最后计算了矩形同波导和偏心同轴波导的相关数据,用于与方形同轴波导对比。

关键词：方同轴波导；有限差分法；亥姆霍兹方程；特性阻抗；截止波长

中图分类号：TP391 文献标识码：B

文章编号：1004373X(2008)0310003

Analysis of Transmission Character in Square Coaxial Waveguide with Matlab

JIN Jing,LU Mai,CHEN Xiaoqiang

(Key Laboratory of Opto―Electronic Technology and Intelligent Control Ministry of Education,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou,730070,China)

Abstract：Thepaper appliesMatlab based on the FDI method to solve the characteristic impedance,cutoffwavelength and gives out the field pattern ofhigh―order modes in square coaxial transmission.Through comparing the data with the equivalent in foreign paper,it is proved that the FDI method with Matlab is a simpleand feasible method.It is of high accuracy,common usefulness and can be applied generally for the analysis of transmitsion lines.At last it calculates the related data of rectangular coaxial waveguide,eccentric coaxial waveguide,and compares them with the first.

Keywords：square coaxial transmission wave―guides;FDI method;Helmholtz equation;characteristic impedance;cutoff wavelength

1 引 言

随着通信技术的飞速发展，在一些特定的场合方同轴波导有其不可替代的特性[1]，如矩形同轴线定向耦合器在通信卫星等空间大功率设备中的广泛应用，对方同轴波导特性的研究也越来越多。对于同轴波导来说其传输的主模是TEM模，TE，TM是作为干扰模存在的，所以计算TE,TM各模式的截止波长对传输线的设计有重要意义，对于其特性阻抗，由于其与内外导体间距离成正比，而工作频率一定时击穿电压与内外导体间距离平方成正比[2]，所以设计时要充分考虑特性阻抗，因此特征阻抗的计算也很重要。

当前，对复杂截面同轴波导由于其复杂的结构特性常采用有限元等方法进行分析求解，以研究其特性，尤其是在截面为椭圆形、三角形、菱形等多边形时，而对一些简单截面的同轴波导（如方同轴波导、矩形同轴波导等）采用简单的有限差分法对其进行分析求解同样能够得到较好的效果。已有文献进行了这方面的工作[3]，但还不全面，且多为静态场方面的特性分析。本文借鉴了这些方法，采用有限差分法结合Matlab计算了不同尺寸的方同轴波导的特性阻抗以及TE模式的干扰模的截止波长，还计算了偏心方形同轴波导和矩形同轴波导的相关数据，并画出了其TE模式下的场结构图。文献[1]中采用有限元法计算所得的方同轴波导内外导体边长比、变化时TE10，TE11模式的截止波长数据和文献[4]中的特性阻抗数据，可作为检验计算结果的标准，以证明方法的可行性。

图1 剖分后的方同轴波导示意图

2 基本原理及方法

以求解方同轴波导中的TE模为例，由于方同轴波导为双导体结构的传输线，所以分别求其内外导体边长比、不同时的主高次模TE10和次高次模TE11的截止波长。有关有限差分法的基本原理可参考文献[3],文献[5]。如图1所示,以正方形网格划分的方同轴波导，其中a为波外导体边长，b为波导内导体边长（如此设置是为和文献[1]中数据进行比较），h为剖分步长，图中所示为等步长剖分，所编程序为通用程序，a,b,h皆可变化，为简单起见采用等步长划分，如图所示，得到72个节点。根据文献[6,7]运用时变电磁场的差分解法，要计算其TE模式的截止波长λc，就要对这72个节点列写各点以场量φ为未知数的差分方程，而各点φ满足亥姆霍兹方程：

即要写出各点的亥姆霍兹方程的差分形式，同时由于是求TE模式的截止波长，所以要按第二类边界条件（郸摘n=0）的差分格式[6,7]处理各边界点。如此构成的差分方程组以矩阵形式表示为：

这样就归结为求解矩阵的本征值问题，K为系数矩阵，Φ是以网格节点上待求场量φi（i＝1～n，对于求解TE模式，φ即为磁场纵向分量）为分向量的列向量，即本征向量,本征值β表示为：

其中k为截止波数，h剖分步长，k与截止波长λc的关系为：

所以只要求出了β也就容易求出k，从而得到λc。求本征值的方法有很多，常用的是迭代法，而之所以使用Matlab是由于其自带求解矩阵的本征值和本征向量的函数[8]，而且本例所求解的系数矩阵K[WTBZ]多为稀疏矩阵，Matlab中有专门的系数矩阵生成存储方式，在进行计算时会自动进行优化以节省内存，加快计算速度。本例中，当求解出矩阵K[WTBZ]的[CM（21*2]特征向量时，其最小非负特征值即为主高次模TE10的截[CM）]

止波长，第二个最小非负特征值为次高次模TE11的截止波长。他们分别对应一组本征向量Φ[WTBZ]，即利用Matlab中的相关函数同时可求得两种模式下的各点磁场纵向分量，还可利用相应绘图函数绘出场图。而对于特征阻抗的求解，现有文献多采用保角变换法，本文仍旧采用有限差分法，其原理可参考文献[7]。

3 数值计算结果分析

(1) 表1，表2中截止波长数据中的前两行为计算的TE10和TE11模式的截止波长，其中带“＊”号的与文献[1]中的计算结果比较相对误差不超过0.5%。剩下的3行即为后3个高次模的截止波长。表3为图2所示矩形同轴传输线的前5个高次模和特性阻抗。其中b/a，d/c都定为0.6不变，c/a为从0.1～0.9变化，计算不同c/a（a均取1 cm）情况下的前5个高次模和特性阻抗。表4为图3对应的偏心方同轴波导的特性阻抗和TE10和TE11模式的截止波长，其中b/a=0.5。