经历学习过程 感悟思想方法

“数学广角”是把传统数学中的经典问题，采用生动有趣的生活事例呈现出来，使学生感受到数学思想方法的奇妙与价值。通过实验、观察、操作、推理等数学活动，激发学生探索数学问题的兴趣和解决问题的意识，逐步发展数学思维能力。让学生在活动中感悟数学思想方法，促进学生数学素养的提升。

第一学段：关注学生“操作体验”， 感受数学思想方法

第一学段以简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换等内容蕴含数学的思想与方法。让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，逐步形成有序思考、全面思考的意识与方法，进而使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”。

第一学段的教材例题往往与生活联系密切，学生会产生浓厚的学习兴趣。让低年级学生通过操作实践活动，使他们在做中学，体验生活中隐含的数学思想。

（一）加强活动操作，感悟排列组合的数学思想

例如人教版教材二年级上册第八单元例1的教学。

出示：用1﹑2两个卡片能摆成几个两位数？

师：你能用手中的两张卡片摆成一个两位数吗？试一试。（学生动手摆卡片）

学生汇报。

生：我先摆1，再摆2就是12。

生：我先摆2，再摆1就是21。

其实这就是排列问题。两个卡片的排列顺序不同，就表示不同的两位数。学生用这两个卡片动手摆一摆，通过操作感受摆的方法以后，记录结果，小组交流摆法。接着用三个卡片摆……在动手操作过程中体会怎样摆才能保证不重复不遗漏，初步培养学生有序思考问题的意识。

在三年级学习的服饰搭配﹑球场的赛次问题，是学生更加系统地学习排列组合问题。衣服和裤子要不同搭配，找出不同穿法的组合数。学生先动手摆一摆，用连线来记录不同的穿法，重点理解怎样连线比较清楚完整，保证做到不重复不遗漏，这个过程的重点就是训练学生有序地操作，培养学生全面思考问题的意识。

（二）借助故事情境，体会等量代换的数学思想

等量代换是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。本课通过《曹冲称象》的故事情境，使学生初步感受等量代换的思想，为探究学习等量代换做准备。

例如三年级下册数学广角的教学。

感知“等量”“代换”。

师：这个故事叫《曹冲称象》，大家觉得曹冲聪明吗？聪明在哪里？

生：聪明！因为曹冲称出了大象的质量。

师：大象和石头都沉到画线的地方说明什么？

生：大象质量和石头质量相等。

师：曹冲的聪明体现在哪儿呢？

生：曹冲把大象换成了石头。

生：用到很多石头，多到和大象一样重。

师：最后称的是大象吗？

生：是石头。

生：大象不能直接称，用相等的石头代替。

师：曹冲的确很聪明，像这样用一种相等的量来代替的过程叫等量代换，今天我们就来研究等量代换。

本课由经典故事“曹冲称象”引入，这个故事学生非常熟悉，聪明的曹冲借助石头知道了大象的重量。教师引导学生透过故事的现象看到等量代换的本质——石头是个中间量，把大象的体重换成了重量相等的石头，称出了石头的重量，也就知道了大象的体重。让学生初步感知等量代换的含义，为下面的学习做好了铺垫。创设这样的故事情境能让学生从中体会出数学味来。

生活中蕴含着大量的数学信息，学生学会了用“数学眼光”看社会，就能主动尝试着运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。

（三）解读信息，关注数学思维训练

人教版教材三年级下册“等量代换”一课是利用天平的原理，通过解决一些简单的问题，使学生初步体会等量代换的思想方法，为以后学习简单的代数知识做准备。如何让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这种思想方法，并能够用自己的方法解决问题是本课教学的目的。为此，根据提供的信息，有序思考、有效落实思维训练是达成这一教学目标的根本。

师：研究两个量的质量关系通常用天平。什么情况下表示两个质量相等？

出示：1头牛的质量=4只猪的质量 一只猪的质量=2只羊的质量（假设每只猪、每只羊的质量相等）。

师：从上面，你获得了哪些信息？

生：1头牛的质量=8只羊的质量。

师：同学们发现了牛和羊的质量关系，是通过谁知道的？（猪）

想知道牛和羊的质量关系，还能怎么说？

生：1头牛的质量=4只猪的质量，1只猪的质量=2只羊的质量，4只猪的质量=8只羊的质量，所以1头牛的质量=8只羊的质量。

生：2只羊的质量=1只猪的质量，8只羊的质量=4只猪的质量，就是1头牛的质量。

生：还能用算式表示 2×4=8。

在进行深入分析、加深理解后，终于有许多同学发现了牛和羊的质量之间虽然没有直接关系，但猪在中间起了桥梁作用。只有对已有的信息从不同的角度进行分析思考，找到它们之间的内在联系，问题才能迎刃而解。等量代换其实也是解二元一次方程组的消元思想，通过等量代换消去一个未知数，从而求得原方程组的解。方程的实质就是用简单的等式来代换复杂方程式的过程。这块知识就是为以后学习代数做准备的。所以解读信息的训练是必不可少的。

由此可见，在第一学段里，学生通过观察、操作、猜测、推理与交流等活动，初步感受了数学思想方法，在解决问题的过程中，学会了有条理、全面思考问题的方法，促进了学生数学思维的发展。

第二学段：注重学生“抽象建模”过程，践行数学思想方法

实践操作经验是学生学好数学的基础，“数学广角”注重做中学，关注学生的活动体验。为此，在第二学段通过研究数学中的经典问题，寻找解决问题的策略和方法，从而建立由具体到抽象的数学推理模型。同时，让学生感悟数学思想，践行数学方法，感受数学的魅力，培养学生分析、推理的能力，逐步形成探索数学问题的兴趣与能力。

（一）化繁为简，体现优化的数学思想

“化繁为简”是数学探索发现的重要途径，也是实践数学优化思想的重要载体。如烙饼问题是人教版教材四年级上册“数学广角”第一课时的内容，向学生渗透简单的优化思想，让学生从中体会统筹思想在日常生活中的作用，感受数学的魅力。

师：家里的锅每次只能烙两张饼，两面都要烙，烙熟一张饼的一面需要3分钟，怎样才能让一家三口尽快吃上饼？（小组合作，用表格记录）

反馈汇报。

生：烙一张饼要6分钟，烙3张饼要18分钟。

生：可以先烙两张，再烙一张，这样省时间。

师：还可以怎样烙，更节省时间？

学生很快找到了用最少时间的规律。这样，学生基本能理解烙饼的过程。但由于这一环节过早揭示了规律，学生在后面4张饼、5张饼的烙法上直接顺应了3张饼的烙法，造成知识的负迁移。

通过反思，笔者发现，在这个环节做如下处理会更好：在烙4张饼、5张饼之前，加强3张饼烙法的对比——相同时间对比、不同时间对比，在对比中引发争论，在感悟最优方法的基础上再来计算烙饼所需的最少时间。这样学生每次都能先去体会烙饼的最优方法，再联系烙的方法来计算所需最少时间，避免了学生把研究烙饼的方法当成了找规律。在讨论中深挖优势，进行优化，才能逐步构建完善自己的知识体系。

同样，在五年级下册“找次品”教学中，教师不仅能让学生体会到解决问题策略的多样性，还能体会到运用优化的方法去解决问题的有效性。

例如教材例1 ： 5瓶钙片，其中1瓶少了3片，你能设法把它找出来吗？

小组活动，利用备好的学具进行试验。

汇报交流。试验中得出以下几种结果：

生：随机拿两瓶，各放在天平上，正好找到少的那瓶。运气很好，只称一次。

生：把5瓶钙片分成2-2-1三组，第一次天平两边各放2瓶，少的那边再称一次，就可以找到了。需要两次。

有学生分别介绍了称三次、四次的方法。

观察讨论，方法优化后得到：5瓶钙片，至少称两次就能找出少的那瓶。

再如例2：有9个零件，其中有1个是次品（次品重一些），通过列表也发现至少称两次能找出次品。

那么零件数量为10个、11个……

这是由特殊到一般的数学分析模式，从中寻找规律，总结、提炼出最优的方法，就可以利用已经归纳出的方法去解决待测物品数更多的情况。当然，在“数学广角”教学中还呈现着其他的数学思想，只要教师做有心人，关注数学知识背后的“思想”内涵，就能有效促进学生的数学发展。

（二）以小见大，有效建构数学的解题模型

有人说：数学是一门建构模型的学问。在建模过程中体现着数学的思想方法，实践着数学的知识魅力。例如四年级下册植树问题、六年级的抽屉原理等都蕴含了数学建模过程，通过数形结合、归纳、发现等活动，获得问题的解决。

如在植树问题教学中出示：一条路全长500米，在路的一边植树（两端都要栽），一共要准备多少棵树苗？

师：对一边、两端你是怎么理解？

生：一边只要想一条线段。

生：两端就是首尾都要的意思。

师：还缺少什么？

师：现补充一个条件——每两颗树之间的间隔是5米，你能解决吗？

在学生反馈时，教师要尽可能展示学生的解题方法。

方法1：500÷5=100（棵）

方法2：500÷5+1=101（棵）

方法3：500÷5+2=102（棵）

方法4：500÷5×2=200（棵）

讨论时尽可能让学生来阐述自己的想法，在有争论的情况下教师提出：用什么办法才能说得清楚呢？从简单的情况入手解决复杂的问题，引导学生采用画线段图的方式，把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树。透过现象发现规律，为学生建构数学模型提供了便捷途径。让学生在充分感知、体验的基础上，展开丰富的想象。在操作、思维的反复进行中，真正理解棵数为何比段数多1的道理，使学生经历了数学化的思考过程，形成了对平分点的数量和段数之间关系的清晰认知。

“数学广角”是实践数学思想方法、积累数学活动经验的重要内容。尽管“数学广角”在整个小学数学教学中所占的份额不多，但是它的教学价值和在后续教学中的作用是不容忽视的。为此，在教学中教师要以学生为本，打开学生的思维空间，让学生在学习活动中不断地获得、反思与感悟，从而促进学生的数学发展。虽然“数学广角”内容有限，但挖掘的空间无限，多一点思考，多一些实践，就能真正提高“数学广角”教学的有效性。

（浙江省宁波市海曙区中心小学 315000）