造桥选址问题大剖析

学了《轴对称》的相关内容后，有一类问题同学们将会不可避免地遇到，那就是造桥选址的问题. 这类看起来复杂的问题，其实质是求最短路径问题. 我们可以把实际问题抽象成数学中的线段和最小问题，再利用平移变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 下面我们就通过几道题剖析造桥选址问题.

【经典再现】

（1）如图1，A，B两点在路l的两侧，在l上找一点C，使C到两点的路径之和最短。

（2）如图2，A，B两点在路l的同侧，在l上找一点C，使C到两点的路径之和最短。

这两道题所展示出的模型是最短路径的经典模型. （1）题中，A，B两点在l的两侧，直接连接两点，与l的交点即为所求点；而（2）题中，A，B两点在l的同侧，这时，通过轴对称原理找出B点在l的对称点B′，连接A，B′即可找到所求的点.

不难看出，这两道题解题的依据都是利用了“两点之间，线段最短”这一原理.

【例题】如图3，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直，如图4.）

【点拨】拿到这道题，同学们会发现，它与前面经典例题中的两个模型很相似，但又有些差别，所以不少同学容易出现以下几种错误：

第二类：直观感觉垂线段最短，没有考虑垂线段最短的应用背景，如图7、图8.

第三类：盲目寻找对称点，如图9.

以上三种类型是同学们常犯的错误.

那么解决这道题能否借鉴最短路径的经典模型呢？其实都是两条线段和最小的问题，但经典模型中只有一条直线，这道题有两条直线，而且AM，NB是断开的两条线段，能否把它们放在一起呢？可以利用平移实现图形的转化. 从A到B有三段路，分别是“走路―过桥―走路”，由于桥长不变，不妨假设把桥先平移出来，变成“过桥―走路―走路”，只需两段“走路”的距离之和最短就可以了. 这样就使问题转化为在直线b上找一点N，使到直线b的两侧两点A′，B的距离之和最小，如图10.

由此，这道题的作图操作步骤是：过点A作ACb于点C，在线段AC上截取AA′等于河宽，然后连接A′B交b于点N，最后过点N作MNa于点M. 则MN即为所求的架设桥的地点，如图11.

如果改为平移B点呢？也是同理，请同学们自行完成画图.

这样就把两条直线异侧两点的最短路径问题，利用图形变化将其转化为“在一条直线异侧两点与直线上点的线段和最小问题”.

为了更清楚地理解这种方法，能否证明为什么这样作图路径最短呢？我们可以在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段的和大于所求作的线段的和.

证明：如图12，在直线b上任取一点N′，过N′做N′M′a于点M′，连结AM′，A′N′，N′B

在A′N′B中，

A′B

A′N+BN+MN

根据平移的性质，有A′N=AM

AM+MN+BN

【拓展1】如图13，如果A，B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？

方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到A1，A2，路径中两座桥的长度是固定的. 为了使路径最短，只要A2B最短即可，连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ,所得路径AQPMNB最短，如图14.

方法2：如图15，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N，P，在N，P两处，分别建桥MN，PQ，所得路径AQPMNB最短.

【拓展2】如图16，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？

方法1：如图17，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ. 所得路径AQPMNB最短.

方法2：也可以如图18，将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于P，M，分别作桥MN，PQ，所得路径AQPNMB最短.

通过上述的例题和拓展可知：一、要使所得到的路径最短，就要平移，使除河宽不变外，其他路径经平移后能在一条直线上，再应用“两点之间，线段最短”解决问题；二、在解决最短路径问题时，我们通常可以利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.