切切割割要会算

各位薯条肯定都切过生日蛋糕吧？切后的蛋糕有的面有奶油，有些没有。同样，如果我们切割长方体、正方体也会出现不少的带色面，而且里边还有不少的门道呢！

一个长方体的高和宽长度相等。若把长去掉2.5厘米，就可以得到一个表面积为150平方厘米的正方体。问：长方体的长是宽的多少倍？

正方体的6个面是相同的6个正方形，所以每个正方形的面积是150÷6=25（平方厘米），棱长为5厘米。原来长方体的长为5+2.5=7.5（厘米），长是宽的7.5÷5=1.5（倍）。

把一个棱长是4厘米的正方体的表面涂满蓝色，然后切成棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，三面涂色、二面涂色、一面涂色和六个面都没有涂色的分别有多少个？

把棱长为4厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，需要每条边切3次，切割成的小正方体个数为4×4×4=64（个）。

（1）三面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，一共有8个。

（2）二面涂色的小正方体在大正方体的棱上，除去2个顶点，每条棱还剩下2个，一共有2×12=24（个）。

（3）一面涂色的小正方体在大正方体的面上，每个面中间有4个，共有4×6=24（个）。

（4）6个面都没有涂色的小正方体在大正方体的内部，共有64-8-24-24=8（个）。

规律小结

对于棱长为n的正方体物体涂色后切成棱长为1的小正方体：

三面都涂色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；

二面涂色的小正方体在大正方体的棱上，共有12（n-2）个；

一面涂色的小正方体在大正方体的面上，共有6（n-2）・（n-2）个；

六面都没有涂色的小正方体在大正方体的内部，共有n3-8-12（n-2）-

6（n-2）・（n-2）个。

例3 如图所示是一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问：此多面体的表面积是多少？

正方体有6个面，每个面的中间都挖去一个小正方体，这时要考虑两头的正方体是否接通。由于本题中的正方体棱长为4厘米，而小正方体的棱长为1厘米，所以没有接通。

大正方体每个面的表面积为4×4-1×1=15（平方厘米），

6个表面的面积和为15×6=90（平方厘米）。

每个小正方体一个面的面积为1×1=1（平方厘米），

小正方体5个面的面积和为1×5=5（平方厘米），

6个小正方体的表面积之和为5×6=30（平方厘米），

因此，这个多面体的表面积为90+30=120（平方厘米）。

小试牛刀

将一个长4厘米、宽3厘米、高8厘米的长方体切成4个小长方体（如图所示），则它的表面积增加多少平方厘米？

切割后的正方体、长方体都含有不少数学规律在里边。下次切蛋糕的时候也要注意观察，千万别光贪吃奶油哦！