在定义处命题

三角函数又称圆函数（circular function），因为三角函数的研究曾经长期在圆内进行，“圆函数”由此而得名.因此以单位圆为背景，从三角函数的定义入手,设计三角函数的相关试题成了考查的一个新热点.此类试题，设计背景“原生态”，关注三角函数的本质问题，注重考查“过程与方法”，深刻体现了课标课程对高考试题的命制要求.

例1如图1，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B （p，q），P（m，n）在单位圆上，∠AOP =，∠AOB=2.

（1）当为何值时，m+n取得最大值，最大值是多少？

（2）求函数f （）=p+am的最小值g（a）.

讲解（1）由已知得m=cos，n=sin，所以m+n=sin+cos= sin ，则m+n的最大值为，此时=.

（2）由已知得p=cos2，m=cos，所以f（）=p+am=cos2+acos=2cos2+acos1=221.

又因为1≤cos≤1，所以当≤1，即a≥4时，[f （）]min=1+a；当1

点评本题从三角函数定义入手设计问题，主要涉及了单位圆、三角函数定义以及辅助角公式等知识点，属于容易题，题目的设计简洁干练，主要考查了同学们对数学基础知识的掌握程度，深入考查了同学们对三角函数本质的认识.

例2如图2，已知点A（2，0），B（1，0），点D，E同时从点B出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍. 设∠BOD=，0≤

（1）当∠BOD=时，求四边形ODAE的面积；

（2）将D，E两点间的距离用f （）表示，并求f （）的单调区间.

讲解（1）当∠BOD=时，∠BOE=，由三角函数的定义，可知D，，E，，所以SODAE=SOAESOAD== .

（2）因为点D，E同时从点B出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍，所以∠BOE = 2∠BOD，即∠BOD = ，∠BOE = 2，0≤

由0≤≤，得0≤≤，所以f （）的单调递增区间是[0，]；由

点评本题涉及了单位圆、三角函数定义、两角和公式、倍角公式以及三角函数的单调性等知识点.尤显新意的是，题目中涉及了物理中的角速度的概念，体现了知识的跨学科交汇，彰显数学广泛应用.

例3如图3，A，B分别是单位圆与x轴， y 轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=（0

（1）求・+S的最大值；

（2）若CB∥OP，求sin的值.

讲解（1）由已知得点A，B，P的坐标分别为（1，0），（0，1），（cos，sin）. 因为=+=（1，0）+（cos，sin），所以・=1+cos.

又因为平行四边形OAQP的面积S=・sin=sin，所以・+S=1+cos+sin=・sin+1. 又因为0

（2）由题意知=（2，1），=（cos，sin），因为CB∥OP，所以tan= . 又因为0

点评本题以三角函数的定义为试题设计的入手点，对平面向量与三角函数进行了交汇考查，考查了推理论证能力、运算求解能力、应用意识以及创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想.

例4如图4，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角，，且，的终边依次与单位圆O相交于M，N两点，己知M，N的横坐标分别为和.

（1）求+的值；

（2）在ABC中，A=，B=，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 m=（a+1，1），n=（b+，1），当m∥n时，求a，b，c的值.

讲解（1）由条件得cos= ，cos= ，又因为，都是锐角，所以sin= ，sin= ，所以cos（+）=coscos sinsin= = . 又因为0

（2）由（1）知C= ，所以 sinC= . 由= = ，得a=b=c，即a=b，c=b. 又因为m∥n，即ab=1，所以bb=1，所以b=1，所以a=，c=.

点评本题考查三角函数、平面向量、三角恒等变换和解三角形四个章节的重要内容，涉及了单位圆、三角函数定义、两角和的余弦定理、三角形内角和定理、正弦定理以及平面向量的共线等知识点，是一道全面考查基础知识和基本技能的好题.

由上面的几个例题，我们可以看出，在定义处命题，不仅体现了课程标准所倡导的“返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，而且能实现对数学学科知识多维度考查，因此从定义出发必将是试题设计的一个好的始点.

1.已知如图5，正三角形ABC内接于单位圆O， ∠xOA=，Pi（ai，0）（i=1，2，3），{an}是公差为1的等差数列.

（1）求・的值；

（2）求函数f（）=（・）+（・）+（・）的单调递增区间.

2．定义：称平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy中，若=xe1+ye2（其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R，O为坐标原点），则称有序实数对（x，y）为点P的斜坐标. 已知平面斜坐标系xOy中，∠xOy =120，Q（1，0），P为单位圆上任意一点，且∠QOP =.

（1）求点P在平面斜坐标系xOy中的斜坐标；

（2）若在平面斜坐标系xOy中，点M的斜坐标为（x，y），则称x+y为点M的“坐标和”，求点P的“坐标和”f （）的值域.

3. 如图1，A是单位圆与x轴正半轴的交点，B，P为单位圆上不同的点，且∠AOP=，∠AOB=2，0≤≤.

（1）当为何值时，∥？

（2）设向量+a的横坐标为f （），求f （）的最小值g（a）.

4. (2010年高考四川卷) （1）①证明两角和的余弦公式C+：cos（+）=coscossinsin；②由C+推两角和的正弦公式S+：sin（+）=sincos+cossin.

（2）已知ABC的面积S=・=3，且cosB = ，求cosC的值.

1. （1）・=coscos+sinsin=cos= ；（2）（k∈Z）.

2. （1）；（2）[2，2].

3. （1）；（2）同例1（2）.

4．（1）略；（2）.