“数与式”中的新面孔

“数与式”是中考的常考知识点之一，近年来各地中考涌现了不少新题型，不少题目从新情境、新视角立意，营造了一个充满灵气的中考大舞台，下面摘取数例加以剖析，与同学们共同感受其独特的魅力.

一、开放型试题

例1 （ 2016・湘潭）多项式x2+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 .（任写一个符合条件的即可）

【分析】本题添加项可为乘积二倍项或平方项.

解：设添加的单项式为Q，如果这里首末两项是x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x与1的乘积的2倍，故Q=±2x；如果这里首末两项是Q和1，则乘积二倍项是x2=2×1×[12]x2，所以Q=[14]x4，故答案为[14]x4、±2x中任意一个.

【点评】本题为开放性题目，只要符合完全平方式即可，要求非常熟悉公式特点.另外注意题目中要求添加的条件是“单项式”，切不要误填[14x2].

二、新定义型试题

例2 （2016・永州）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2[12]=-1.其中正确的是（ ）.

A.①② B.①③

C.②③ D.①②③

【分析】根据指数运算和新的运算法则得出规律，根据规律运算可得结论.

解：①因为24=16，所以此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2-1=[12]，所以此选项正确.故选B.

【点评】新定义题是近年的热点题，它的实质是一种规定，规定某种运算方式，规定某个概念的特征性质，然后要求参考者按照规定去计算、求值，理解概念，解决问题.

三、程序设计题

例3 （2016・安顺）根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为

.

【分析】观察图形我们可以得出x和y的关系式为：y=2x2-4，因此将x的值代入就可以计算出y的值，如果计算的结果小于0，则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值大于0为止，即可得出y的值.

解：由题中的计算程序列出算式：12×2-4，由于12×2-4=-2，-2

【点评】本题考查了程序运算，解题时应先认真观察程序的意义，然后将字母的值代入求解，注意分步骤落实，这样在解题的过程中比较容易检测过程的正确性.

四、探索规律试题

1.图形类规律题.

例4 （2016・荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（ ）

A.671 B.672 C.673 D.674

【分析】由图知：第1个图案有4个白色菱形纸片，第2个图案有7个白色菱形纸片，第3个图案有10个白色菱形纸片……从而可知每个图案都比前一个图案多3个白色菱形纸片，用含n的代数式表示此规律，最后根据发现的规律列出方程求解.

解：认真观察图形，确定图形变化规律：第1个图案有4个白色菱形纸片，第2个图案有7个白色菱形纸片，以后每个图案都比前一个图案多3个白色菱形纸片，所以第n（n是正整数）个图案中的白色菱形纸片的个数为3n+1，所以3n+1=2017，n=672，故选B.

【点评】解决此类问题应先观察图形的变化趋势，从第一个图形开始进行分析，是逐渐增加还是逐渐减少，相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系.如果所求图形的位置序号较大时，需要运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含n的代数式表示出来解题.

2.数字类规律题.

例5 （2016・黄石）观察下列等式：

第1个等式：a1=[11+2]=[2-1]；

第2个等式：a2=[12+3]=[3-2]；

第3个等式：a3=[13+2]=[2-3]；

第4个等式：a4=[12+5]=[5-2]；

……

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式：an= ；

（2）a1+a2+a3+…+an= .

【分析】（1）①观察所给等式第一个等号的右边，归纳规律：分子都为1，分母是两个二次根式的和，并且两个二次根式的被开方数是连续整数，且较小的被开方数与等式的序号相同；②观察所给等式第二个等号的右边，归纳规律：是将第二等号的左边进行分母有理化.（2）先将a1、a2、a3、a4、…、an代入，再将每个式子分母有理化即可求值.

解：（1）观察题中提供的等式可知，a1是被开方数从1开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，a2是被开方数从2开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，a3是被开方数从3开始的两个连续整数的二次根式的和的倒数，……，于是猜想an=[1n+n+1]，再分母有理化得[n+1-n].（2）a1+a2+a3+…+an=[2]-1+[3]-[2]+…+[n+1-n]=[n+1-1].故答案为：（1）[1n+n+1]=[n+1-n]；（2）[n+1-1].

【点评】规律探究问题，一般从最简单的几个数、式或图形观察、分析、发现，再由特殊到一般，猜想、归纳、总结出规律（用代数式或等式表示），最后进行验证，确认规律是正确的.