数学在物理中的应用举例

摘要:数学作为工具性学科,与物理及日常生活息息相关。当一个物理问题被数学化之后,它就被纳入了数学的轨道,从而能用数学方法来解决这些问题。

关键词:数学,方法,兴趣

中图分类号: G623文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)12-0055-02

数学作为工具性学科,与物理及日常生活息息相关。当一个物理问题被数学化之后,它就被纳入了数学的轨道,从而能用数学方法来解决这些问题。作为中学数学教师,在数学中应有机地将物理知识与数学知识结合讲解、训练,一方面使学生深刻理解数学知识,更重要的是使学生在应用中产生对数学的浓厚兴趣,促进数学成绩的提高。

一、函数知识的应用

函数在物理上的应用是最广泛的,也是最典型的,所有物理公式和运动方程无不是函数知识的再现。现举两例:

例1、某一盛水容器中用细线吊着一个下端有孔的小球,起初小球内充满水,现以恒定速度将铁球拉出水面,则水面高度与时间的函数关系的图象是( )

解:⑴根据物理知识可知,小球孔很大,所以拉出水面时,小球下孔在水的表面张力下呈曲面,使球形成一个整体球,使水从小孔流不出,所以小球是带着一腔水被拉出水面的。⑵根据数学知识可知,由球顶到球中心被拉出水面时,水面高度曲线下降得快,所以曲线向下弯,当球从球心开始到整个球被拉出水面时,水面高度下降得慢,所以曲线向上弯,但在整个过程中,水面均下降,所以,在整个过程中,函数是减函数,故选D。

三角函数反映了角与比值的关系,在实际生产和生活中,常常遇到角度问题和线段问题,这些问题可以通过构建三角函数的数学模型,研究三角函数的性质及计算使问题得到解决。解决这类问题时要善于抓住问题的本质,将其转化为三角函数问题。

例2、如图所示,屋顶断面是ABC,AB=BC,横梁AC=21(定值),当雨水从屋顶面上流下时间最短时,屋面的倾斜角?琢等于。(摩擦忽略不计,雨水初速度为0)

二、数列知识的应用

数列的通项反应了数列的性质,所以在数列问题中如能求出通项,其他问题则迎刃而解。

例3、使一原来带电的导体小球与一带电量为Q的导体大球接触,分开后小球获得电量q,今使小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复为Q,求小球能获得的最大电量。

解:小球与大球接触后,两球所带电量之比决定于两者的形状,是一个恒量,设q1、q2、…qn和Q1、Q2、…三、向量知识的应用

向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理解答题更简捷,更清晰。并且用向量知识不仅是解决物理许多问题的有力工具,而且用数学的思想方法去审视相关的物理现象,研究相关的问题,可以使我们对物理问题认识更深刻。用向量知识解决物理问题,首先要把物理现象转化成数学问题,即将物理之间的关系抽象成数学模型,然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象。解题时还要注意对物理意义的理解。

例4、如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A出发航行到河对岸,船航行速度|v|=10km/h,水流的速度|v2|=4km/h,设v1和v2的夹角为?兹(0

(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是最少吗?为什么?

解:(1)船垂直到达对岸,即v=v1+v2与v2垂直,也就是(v1+v2)・v2=0,

v1・v2+v22=0,

即|v1||v2|cos?兹+|v2|2=0。

又00

所以当114时,船能垂直到达对岸。

(2)设船航行到达对岸所需的时间为t,

所以当?兹=900时,船的航行时间最短,而当船垂直到达对岸时,须有?兹=1140,这时所需的时间不是最少。

四、概率知识的应用

概率反应随机事件发生的可能性的大小,有四个古典概型:等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验。在解决概率问题时,要注意以下几个方面:⑴弄清所求概率的事件是什么事件,然后选用适当的概率公式;⑵选取适当的方法,即:直接法,间接法(正难则反,先求对立事件的概率);⑶做到不重不漏,考虑全面、完善;⑷从集合的角度来理解互斥事件、对立事件及互斥事件的概率加法公式。相互独立事件同时发生的概率这一知识广泛应用与物理的电子学中,常用此知识来检验物理元件的可适用性及对可靠性的预测。

例5、现有构成系统的6个元件,每个元件的可靠性约为P(0

解:系统(Ⅰ)有两个通道,它们能正常工作,当且仅当两条通路至少有一条通路能正常工作,而每条通路能正常工作当且仅当此通路中的每个元件都能正常工作。

系统(Ⅰ)每条通路正常工作的概率是P3,不能正常工作的概率是1-P3,系统(Ⅰ)不能正常工作的概率是(1-P3)2,所以系统(Ⅰ)能正常工作的概率是P1=1-(1-P3)2=P3(2-P3)。

系统(Ⅱ)由3对并联元件串联而成,它能正常工作当且仅当每对并联元件都能正常工作,由于每对并联元件正常工作的概率是1-(1-P)2,所以系统(Ⅱ)正常工作的概率是P2=[1-(1-P)2]3=P3(2-P)3。

因为P1-P2=P3[2-P3]=-6p3(P-1)2

所以P1

注意:“正难则反”,当直接求某事件的概率,情况比较多时,就可以先求其对立事件的概率。

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