解答一类高考导数压轴题通法――逐段筛选法

2010年、2011年、2012年全国高考数学新课标理科卷均将含参数函数不等式恒成立问题作为压轴题，很多教师认为高考参考答案“不自然、不大众化”、“学生想不到”、“非解答本类问题的通性通法”.为了让教师对此类问题以及参考答案的解法认识与理解到位，解题教学到位，进而让学生想得到，笔者通过研读波利亚的《怎样解题》和罗增儒的《数学解题学引论》，结合教学实践，运用口语化语言编制了《“逐段筛选法”解题表》（见表1），以便为解答含参数函数不等式恒成立问题提供一种程序性方法.

笔者将以《“逐段筛选法”解题表》为指导，以函数的基本性质为载体，重点通过如何运用《解题表》解答2012年高考新课标卷理科导数题和分析2010年、2011年高考新课标卷理科导数题的关键步骤，充分暴露解题的思维过程，揭示出解答一类含参数函数不等式恒成立问题的通法．

例1 （2012年高考数学新课标卷理科第21题）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+12x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若f（x）≥12x2+ax+b，求（a+1）b的最大值．

以第二问为例利用《“逐段筛选法”解题表》进行解题过程分析：

第一步 准备

1.你必须深入理解题意

1.1参数是什么？

含有a，b两个参数.

1.2这是一个什么问题？

这是一个求（a+1）b的最大值问题.

1.3条件是什么？

通过第一问可知，f（x）的解析式为f（x）=ex-x+12x2.

1.4条件是否足以确定参数？

通过变形得到ex≥（a+1）x+b，很难直接确定（a+1）b的最大值.

1.5定义域是什么？

定义域为实数集R.

2.你要想办法构造辅助函数

2.1你构造了辅助函数吗？

构造辅助函数h（x）=ex-（a+1）x-b.

2.2辅助函数容易求导吗？

易于求导，h′（x）=ex-（a+1）.

3.你心中一定要有思路

3.1你能将函数不等式问题转化为下列三种情况之一吗？

转化为第一类问题，若不等式h（x）>0在实数集上恒成立h（x）min>0，x∈R.

第二步 分段

你必须弄清参数对函数单调性的影响.

你能一眼看出参数在某个范围内导数恒大于零？或者小于零？或者不能确定吗？

能够一眼看出当a+1≤0时，h′（x）=ex-（a+1）>0.

你应该将参数分段.

立即将其分段，能明确判断导数正负的参数范围即a+1≤0分为一段，导数可正可负的参数范围即a+1>0分为一段.

第三步 筛选

你必须明确筛选出参数取值范围是最终目的.

能够判断导数正负的参数范围，马上说明函数单调性，验证不等式成立或者不成立，进而确定参数是否满足题意，获得阶段性结果.

当a+1≤0时，h′（x）>0y=h（x）在x∈R上单调递增.

x-∞时，h（x）-∞与h（x）≥0矛盾.

对导数可正可负的参数范围进行讨论，你能在“大”的范围内进行“小的范围分析吗？你能举出反例说明吗？你能运用图象进行直观判断吗？你能直接利用辅助函数判断吗？你能继续求导判断吗？

当a+1>0时，h′（x）>0x>ln（a+1），h′（x）

故当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0．

则（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）（a+1>0）．

令F（x）=x2-x2ln x（x>0），则F′（x）=x（1-2ln x）．

F′（x）>00

当x=e时，F（x）max=e2．

最终由以上两部分的筛选得到参数的取值范围（或其它成立结论）.

综上，当a=e-1，b=e时，（a+1）b的最大值为e2．

点评 此题解答过程完全以《“逐段筛选法”解题表》为依据，一步一步完成，与命题中心提供的参考答案基本相同，只是先构造辅助函数并求导，筛选出明显不满足题意的a+1≤0的情况.笔者自认为此解法操作性强，且方法易推广，更符合学生逻辑思维规律，是解答一类含参函数不等式成立问题的通性通法.

例2 （2010年新课标卷）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1） 若a=0，求f（x）的单调区间；

（2） 若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围

以第二问为例进行解题过程分析：

（限于篇幅，仅分析如何进行分段并筛选出满足题意的参数取值范围）

解析 f（x）=ex-1-x-ax2，

易于求导，f′（x）=ex-1-2ax.

由第一问可知：当x≥0时，ex-1-x≥0.

能够一眼看出当a≤12时，

f′（x）=ex-1-2ax≥0.

立即将其分段，能明确判断导数正负的参数范围即a≤12分为一段，导数可正可负的参数范围即a>12分为一段.图1

①当a≤12时，f′（x）≥0，则f（x）在［0，+∞）为增函数.

所以f（x）≥f（x）min=f（0）=0.

故a≤12时，f′（x）≥0恒成立.

②当a>12时，f′（x）=ex-1-2ax.

若令f′（x）=0，很难求出x的值；若设y1=ex，y2=1+2ax，在同一坐标系下作出两函数的图象（图1），两图象交点的横坐标即为f′（x）=0的解.

由图象可知，当x∈（0，x1）时，f′（x）

x∈（x1，+∞）时，f′（x）>0.

所以当x∈（0，x1）时，f（x）

点评 此题参考答案在讨论a>12时，运用了以下解法：由ex>1+x（x≠0）可得e-x>1-x（x≠0）.从而当a>12时，f′（x）

故当x∈（0，ln 2a）时，f′（x）

上述解法关键是利用了ex>1+x（x≠0）的变形形式e-x>1-x（x≠0），解法巧妙，但可操作性不强.而这一问的关键是举出f（x）≥0的反例，只需判断x取某一个值或在某一范围内f（x）

例3 （2011年全国新课标卷理科第21题）已知函数f（x）=aln xx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>ln xx-1+kx，求k的取值范围.

以第二问为例进行解题过程分析：

（限于篇幅，重点解析构造辅助函数以及分段筛选的思路方法）

解析 构造辅助函数h（x）=f（x）-ln xx-1-kx=2xln x+（k-1）x2+1-k（1-x2）x.

求导得h′（x）=4x3ln x+（1-x2）［（1-k）x2+2x+k-1］x2（x2-1）2，要判断h′（x）的符号，虽然h′（x）表达式的分母恒大于零，但分子中含有ln x，致使符号的判断非常困难.于是想到h′（x）的分子若没有ln x，判断符号会更容易些.所以，想到对h（x）的表达式进行研究.

h（x）=2xln x+（k-1）x2+1-k（1-x2）x

=11-x22ln x+（k-1）（x2-1）x.

当x>0且x≠1时，11-x2符号确定，故只需考虑函数g（x）=2ln x+（k-1）（x2-1）x的符号，又g′（x）=（k-1）x2+2x+k-1x2， 而g′（x）的分母恒大于零，故只需考虑分子（k-1）x2+2x+k-1的符号.

观察（k-1）x2+2x+k-1，能够一眼看出当k≥1时，（k-1）x2+2x+k-1>0.立即将k≥1分为一段，k

①当k≥1时，g′（x）>0，故函数g（x）在（0，1）、（1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g（x）0，h（x）=11-x2g（x）

②当k0时，0

（1）当k≤0时，Δ≤0，m（x）≤0，则g′（x）≤0，故函数g（x）在（0，1）、（1，+∞）上单调递减，又g（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g（x）>0，11-x2>0，h（x）=11-x2g（x）>0；同理当x∈（1，+∞）时， h（x）>0.故当k≤0时，h（x）>0恒成立.

（2）当01，故x∈（1，11-k），m（x）>0，则g′（x）>0.所以，函数g（x）在1，11-k上是增函数，故g（x）>g（1）=0，而11-x2

综上，当x>0，且x≠1时，f（x）>ln xx-1+kx成立的k的取值范围为（-∞，0］.

点评 本题构造函数h（x），发现对h′（x）的符号难以做出判断，回到对原函数h（x）表达式的分析与变形，重新构造出易判断h（x）符号的g（x），需具备“欲进先退”的意识和较强的数与式恒等变形的能力.对于g′（x）=（k-1）x2+2x+k-1x2，当x>0且x≠1时，将k≥1分为一段，k

通过连续三年新课标卷理科导数压轴题的分析可知，利用“逐段筛选法”解答一类含参数函数不等式恒成立问题，与高考参考答案解法一致，显得自然、流畅、简单、清新，具有大众化、常规化特点，是当之无愧的通性通法.

请读者不妨利用“逐段筛选法”解答以下几道高考题并与参考答案对比，品味命题者提供的参考答案与利用“逐段筛选法”解答的统一性、实用性与高效性.

1、（2010年全国卷理科Ⅱ第22题）设函数f（x）=1-e-x．

（Ⅰ）证明：当x＞-1时，f（x）≥xx+1；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤xax+1，求a的取值范围．

2、（2011年北京卷理科第18题）已知函数f（x）=（x-k）2exk.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1e，求k的取值范围.

3、（2011年浙江卷理科第22题）设函数f（x）＝（x-a）2ln x，a∈R.

（Ⅰ）若x＝e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立.

4、（2012年天津卷理科第20题）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈［0，+∞）有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值.

5、（2012年广东卷理科第21题）设a0}，B={x∈R|2x2-3（1+a）x+6a>0}，D=A∩B．

（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3-3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．