“数与代数”教学中学生的“符号感”的培养

摘要：符号表示数的思想，深刻地反映出了不同事物具有共性和普遍性，从而把学生的认识和推理提到一个更高的水平，培养学生现实问题数学化的能力，最终形成理性思维能力。

关键词：数与代数 符号感

培养学生的符号感，主要的方法是引进字母表示数，这是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的基础。

字母作为数学符号有两种作用。首先，字母可作为专用名词，如表示一个完全确定的数，或用A表示两直线交点。当然，特定集合需要使用标准的专用名词，如Z、N。其次，字母可作为不确定的名词，来表示具体情境中的数理关系，就像普通的语言一样。

从研究特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式地死记硬背，而不理解其意义。要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示的意义。

一、用字母表示运算法则、运算律以及计算公式

在初中阶段，要让学生体验数学化的过程。就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。如，人们用a+b=b+a表示加法交换律，ab=ba表示乘法交换律等，在这里，字母a、b是任意实数，这些都属于形式化的工作。要让学生体验再创造的过程，领悟到数学的抽象性。

符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。字母的使用，使数的算术运算法则有了一般性的表示，代数的目的是要继续发展学生对数和运算的意义的认识，进一步探索有关数的事实、关系、性质及对数值的和几何的模式的探索，并作符号将这些关系和模式的一般性表示出来。这些符号表达最终被用于预测或计算关系（或模式）中未表示出的对象的值，或判断某一个数值结论，或证明数系统的结构性质。

一般化的过程包括会用字母表示关系，知道如何把关系翻译为代数和表达式和会进行具体地代入求值。一般化能够超越具体情境本身，指明存在于一类事物中的共性，把认识推到一般的水平，成为更高层次上推理和交换的对象。因此，一般化对数学活动和数学思考是本质的（内在的、固有的），一般化是每一个人都要经历的过程。代数式的运算仍然是代数课程必不可少的重要内容之一，作为恒等变形的形式运算，反映了代数作为符号语言的语法规则，也是代数作为解决问题、证明的工具的重要组成部分。

二、用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系

例如，如果橘子每千克a元，那么b千克橘子的价格是ab元；匀速运动中的速度v、时间t、路程s的关系是s=vt；圆柱体体积公式是V=sh(s表示圆柱的底面积，h表示该圆柱体的高)等。

三、从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用字母确切地表示出来

例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程；用字母（例如x、y）表示某一变化过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。

（1）这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化地将它们表示出来。例如，一个大正方形用十字形连续均分，所得的小正方形越来越多。问第18次均分后所得的正方形有多少个？第1000次均分后呢？（不包括原大正方形）

在分第一次、第二次、第三次时，学生们可能会具体数一数正方形的个数，但当分到第18次、第1000次时，学生们就需要探索正方形的个数与分的次数之间的关系，发现正方形个数和变化规律。规律是一般性的，需要用字母表示。根据探索，学生可得到这样的表达式：正方形的总个数=1+3n(n表示分的次数)。

（2）用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某个未给出的或不易直观得到的值。如上述问题中，当n=1000时，1+3n=1+3x1000=3001。用代数式表示是由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用代数公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。

四、理解符号所代表的数量关系和变化规律

如：代数式7n可以表示什么？学生可以解释为：当n表示一件衣服的价钱，7n可以表示7件衣服的价钱；当n表示正七边形的边长时，7n可以表示正七边形的周长；7n也可以表示一只羊的体重是一只鹅的体重的7倍；如果早操排队时，一列站7个小朋友，那么7n表示n列小朋友的个数。又如，a和b分别表示长方形的长和宽，S表示长方形的面积，那么，S=ab表示计算长方形面积的公式，同时也表示长方形面积随长和宽的变化而变化的关系。

五、选择适当的程序和方法解决用符号表示的问题

解决问题的第一步是将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。第二步是选择算法，进行符号运算。比如，将一个实际问题表示为一个一元一次方程，然后根据方程我们选择用公式法去求解。会运用符号运算也很重要。

总之，要尽可能在实际的问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。在教学中，对符号演算的处理尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等帮助学生理解。大纲要求，必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。但是并不主张进行过多、过于烦琐的形式运算的训练。学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而是贯穿于学生数学学习的全过程，伴随着学生数学思维层次的提高逐步发展。