没有做不到 只有想不到

时间:2022-09-15 04:25:39

摘要:现在的学生越来越有自己的思想,他们已经不满足于学习重复先辈的知识经验,他们渴望证实自己的能力,渴望创造出新的东西。因此新教材在抓住基础知识的同时,可以考虑丰富数学在生活的各个不同层面的应用,使学生融于数学应用环境中,从而敢于并且能够创新应用所学数学知识。本文尝试引入一些特殊的数学应用实例,希望对新课程内容有所启发。

关键词:数学应用;数学建模;课程改革

北京师范大学的严士健教授曾说,无论学生是从大学进入社会,还是从中学进入社会,或者是从职业高中进入社会,一旦遇到实际问题,他能想到运用数学知识去解决和想不到用数学的人其解决结果是完全不一样的。这并不在于他到底解决了多少应用问题,而是他有了这种感受和这点经验,其意义就很大了。

以前以纯理论知识为主的教材已经越来越不符合现在学生的要求,现在新课程内容中已经普遍渗透了数学应用理念,不管是每章开始知识的生活引入,还是最后知识在生活中的应用,都反映了生活实际离不开数学。学生已经开始认识到数学并不是枯燥的理论知识学习,数学在实际生活中有巨大的作用,这是新课程带来的实效。但由于新课程还处于不断完善中,其中应用的实例并不能渗透到生活中的每个角落,正因为实例的稀少以及它们的有限覆盖面,学生只知道数学在生活中有用,但在生活中却很少用数学解决问题或者说除了课本提到的实例之外,其他的根本不知道如何建立数学模型。

所以在新教材中,在每章知识里不仅要渗透不同生活层面的应用,还要适当增加生活的数学模型建立。使课程内容经历“纯理论知识―理论应用结合―创造性应用”的蜕变过程。从而能够充分发挥学生的想象力,使学生敢于大胆创新应用所学数学知识。

一、弧度制三角函数教材内容的丰富

在弧度制三角函数这章新课程内容中,学生通过课本实例和课后探究实例能很好的解决扇形或者与三角有关的图形中面积和长度的最优解问题。那么如果出现这样一些问题,学生能做出来吗?

问题1:假设地球上任意两点的距离是可测的,那么你能据此估算出地球的半径吗?

对于这样的因为没有图形,没有数据的问题,学生往往无从下手。因为他们缺乏这方面的训练。这是一个经典问题,你只需要先确定一点S,等到正午太阳直射井底,这个时候在其他地点A(有时差所以不是正午)太阳必然斜射井壁。如图1所示,先在左图中测出地球表面弧SA的长,设为l,再在右图RTBCD中求出θ,那么就可得地球半径R=■。

问题2:如果地球的半径已测,地球上任意两点距离可测,那么你能估算出地球和月亮之间的距离吗?

同样我们可以利用月亮的光线(区别于太阳光线,太阳光是平行光,月亮是点光源),如图2,“海上升明月”,A处月亮正处于地平线上;“明月正当空”B处月光正好直射井底。测出球表面弧AB的长,设为l,在RTMAO中,可得月球和地球的近似距离MO=■,其中θ=■。

古代或者现代有很多人发明了各种各样的测量方法,有“古希腊学者用一个拇指就估算出月球半径的”,有“现在用一张日落照片就估算出地球半径大小的”等。通过这样一些问题的学习,使学生的所学更贴近生活,为学生应用数学多打开了一扇门,使学生碰到生活问题不会束手无策。同时这些问题激发了学生的天文兴趣,当学生去查阅相关的资料,学生的“可持续发展”能力得到了加强。

二、数列教材内容的丰富

在数列这章新课程内容中,主要强调数列在经济学中的应用,学生在经济学中运用数学如鱼得水,在这一方面学生得到了“可持续发展”。如果新教材中能够再多一些其他方面的应用,使学生在其他方面也能得到“可持续发展”,那就更加完善了。不妨看看下列问题。

问题1:在我们出生的那天有阴历和阳历两个日子,以后有些人过阴历生日,有些人过阳历生日,那么请问有没可能有某一天即是阳历生日又是阴历生日呢?

这个问题可以转化为数学数列模型,阳历是一组数,阴历是一组数,这两组数按照各自的规律循环运行,那么什么时候再次重逢呢?利用两周期数列公共项原理(Cm是数列周期数列{an}、{bn}的公共项,则Cm+T也是公共项,其中T是{an}、{bn}周期的最小公倍数)经过T天阴历阳历会重逢。所以整个问题就转化为求阳历和阴历的重复周期问题。剩下的就是学生去查阴历和阳历日期的周期问题(阳历可以看做4年重复一次,阴历可以看做19年重复一次)。

问题2:2013年是蛇年,又是癸巳年,根据十二生肖我们可以推得任意一年是什么生肖年,那么你能不能根据天干地支推得任意一年是什么干支年吗?十天干“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”,十二地支“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”按照表1顺序循环出现。

如:2013年是癸巳年,那么2014年就是甲午年,2073年又是癸巳年。

由表1可知公历第n年的干支{an}是n的一个周期数列且周期T=60,所以当知道任意连续60年干支,就可推断出整个公历干支。又这连续的60个干支是有规律的,只要知道其中一个就可以了。

譬如,可以利用公元1年(即公元元年)干支纪年为辛酉年。即已知a1=“辛酉”,由“表1”可推断出a2=“壬戌”,a3=“癸亥”,a4=“甲子”,a5=“乙丑”…a59=“己未”,a60=“庚申”。

现在我们用周期数列原理求下列公历年对应的干支纪年。

(1)2044年;(2)1969年;(3)公元120年;(4)公元前1年;(5)公元前155年。

解:公历第n年的干支{an}是n的一个周期数列,且周期T=60.可得:

(1)a2044=a4=“甲子”。

(2)a1969=a49=“己酉”。

(3)a120=a60=“庚申”。

当推广到n是负值,需按照如下规则:a-1表示a1前面一项,a-2表示a-1前面一项,依次类推。但公元1年的前一年是公元前一年,没有公元0年的说法,即没有a0项,所有下标为负的项都要右移一个单位,变为一个映射数列{an}({an'}中n≤0)如a-1=a0'=a60-“庚申”,a-155=a'-154=a26-“丙戌”,这就是(4)(5)的答案。

问题1、2是对数列不同与经济学层面的应用,可以使学生知道数列并不一定是要对经济学上的数字进行研究,可以对有排列顺序的元素进行研究,从而丰富了学生的数学应用意识层面,拓宽了学生的数学视野,增强了学生“可持续发展”的能力。

三、深化新课程内容改革的一点想法

有研究表明,越是低年级的学生对数学越是表现出浓厚的兴趣,初中,高中有淡化的趋势,而大学及以上学历的人对数学的兴趣又开始有回升。我想这与他们所学的课程内容有很大的关系。我们任取一张小学期末试卷,其中有“一条小船最多可以坐两人,一个旅行团有17个客人,至少需要____条船”“一个甜筒2元,一个汉堡10元,那么买4个甜筒和一个汉堡要多少钱”……类似的应用题占试卷的80%以上。可见他们的课程内容都是以生活实例为主。而大学及以上学历的学生都是在边应用边学习的。

由此可见,要想学生乐于学数学,增加学数学的兴趣,那么学生学习的课程内容必须与应用紧密结合,可以是生活上的应用,也可以是其他方面上的应用。结合程度越紧密,学生学习的兴趣越高。这里强调“结合”,并不是单纯的应用,如果只是应用的话就可能变成空中楼阁,脱离了学生的认知规律,从而使学生基础知识薄弱。小学的期末试卷应用多是因为从他们所学的课程内容中可以衍生出各种不同形式的应用类型。高中的试卷题型多是因为从课程的例题和习题中可以衍生出无穷变化,有些老师甚至可以把一张高考试卷上所有的题在课本上找到影子。受此启发,那么在新课程内容中是否可以丰富应用题型(如前面三角和数列内容的丰富),使得应用例题和应用习题可以衍生出无穷的应用类型。这样老师可以对照着编造数学应用题,提高平时练习的应用题比例,从而使学生融于数学应用环境中,使学生的演绎推理能力能在生活应用上得到更闪亮的发挥,使学生感受到“只要我想用数学研究这个问题,那么就一定能找到相应的理论或者创造相应的理论来解决这样一个问题”。当学生处于“没有做不到,只有想不到”的学习氛围中时,学生有了更多的学习主动性,有了更深的学习创造性,有了更好的“可持续发展”。

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