解答图形存在性问题的两种途径

图形存在性问题在近年来中考中屡见不鲜．这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线，要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在．解答它们，应先假设这种现象存在，再考虑化“动”为“静”的策略，从构造方程关系式或构造函数关系式入手进行判断和说明．

一、从构造方程关系式入手判断和说明存在性

例1 （临沂市）已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明：∠BMC＝90°.

（2）如图2，若b≠2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

解析 ：（1）应先证明∠AMB＋∠DMC＝90°．

因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A＝∠D＝90°．

因为b＝2a，点M是边AD的中点，

所以AB＝AM，DM＝DC．

所以ABM和DMC都是等腰直角三角形．

所以∠AMB＝45°，∠DMC＝45°．

所以∠BMC＝180°－（∠AMB＋∠DMC）＝90°．

（2）假设存在，则存在符合要求的正实数 ，使得AM＝x．由∠BMC＝90°时，得∠AMB＝90°－∠DMC＝∠DCM．

所以RtABM∽RtDMC．

所以 AM DC = AB DM ．

因为AM＝x，DC＝AB＝a，DM＝b-x，

所以x2-bx+a2＝0.

当b＞2a时，Δ＝(b+2a)(b-2a)＞0，且两根均大于0，

所以存在两个不同的正实数x，使得AM＝x，必存在使∠BMC＝90°的点M．

当b＜2a时，Δ＝(b+2a)(b-2a)＜0，

所以不存在正实数x，使得AM＝x，必不存在使∠BMC＝90°的点M．

说明：解答（1）的关键在于将证明∠BMC＝90°转化为证明ABM和DMC都是等腰直角三角形；解答（2）的关键在于发现若∠BMC＝90°，则ABM∽DMC．根据其对应边的比相等的性质，能构造一个关于x的一元二次方程．接下去只需要判断或说明这个关于x的一元二次方程是否存在正实数根．

例2 （南通市）如图3，在ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，点D是BC边的中点，点P从点B出发，以acm/s （a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为 t s．

（1）若a＝2，BPQ∽BDA，求t的值；

（2）点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

①若a＝ 5 2 ，求PQ的长；

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

解析 ：（1）在ABC中，由AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC的中点，得DB＝DC＝ 1 2 BC＝6．

因为BPQ∽BDA，

所以 PB DB = QB AB ．

因为a＝2时，PB＝2t，DQ＝t，QB＝DB－DQ＝6－t，

所以2t 6 = 6-t 10 ,t= 13 18 .

（2）①由四边形PQCM为平行四边形，得∠PQB＝∠C＝∠B，PQ＝PB＝

5 2 t

．

因为PQ∥AC，

所以PBQ∽ABC．

所以 PB AB = QB BC ．

所以5 2 t 10 =

6-t 12 ,t= 3 2 .

所以PQ＝ 5 2 t= 15 4 ．

（2）②假设存在符合要求的实数a，连CP．

因为CP平分∠ACB，PM∥CQ，

所以∠PCQ＝∠PCM，∠PCQ＝∠CPM．

所以∠PCM＝∠CPM，PM＝CM．

所以四边形PQCM是菱形．

所以PB＝PQ＝CQ＝DC＋DQ．

所以at=6+t.

因为PBQ∽ABC，

所以 PB AB = QB BC .

所以 at 10 = 6-t 12 ,at=

5 6 (6-t).

所以6＋t＝ 5 6 (6-t)，t=-

6 11 ,a=-10.

因为a＞0.

所以不存在实数符合要求的a，使得点P在∠ACB的平分线上．

说明：解答（1）的关键在于利用BPQ∽BDA的条件，根据其对应边的比相等的性质构造一个关于t的方程；解答（2）①的关键在于从四边形PQCM为平行四边形入手推出BPQ为等腰三角形及PBQ∽ABC；解答（2）②的关键在于发现，若点P在∠ACB的平分线上时，四边形PQCM是菱形，根据PB＝PQ＝CQ且

PB AB = QB BC

，能得两个关于a和t的方程．

二、从构造函数关系式入手判断和说明存在性

例3 （南充市）如图5，在RtPOQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，使三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B．

（1）求证：MA＝MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

解析 ：（1）如图6所示，连接OM，只需证明AMO ≌BMQ．

因为POQ是等腰直角三角形，且M是斜边PQ的中点，

所以OM＝ 1 2 PQ＝QM，OMPQ，OM平分∠POQ．

所以∠AMO＝90°－∠OMB＝∠BMQ，∠MOA＝∠MQB＝45°．

所以AMO ≌BMQ．

所以MA＝MB．

（2）假设存在，则存在正实数x，使得AO＝x，且使得AOB的周长l有最小值．

因为AMO ≌BMQ，

所以BQ＝AO＝x．

所以BO＝OQ－BQ＝4－x．

因为∠AOB＝90°，

所以AB＝AO2+BO2=

x2+(4-x)2．

所以l＝AO＋BO＋AB＝4＋x2+(4-x)2．

因为x2+(4-x)2=2(x-2)2+8，

所以当x＝2时，x2+(4-x)2有最小值为8．

所以l的最小值＝4＋22．

所以在旋转三角尺的过程中，AOB的周长存在最小值为4＋22．

说明 ：解答（1）的关键在于连接OM，将证明MA＝MB转化为证明AMO ≌BMQ；解答（2）的关键在于构造l与x的函数关系式，并利用配方方法确定

x2+(4-x)2的最小值为8．

例4 （德州市）如图7所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB＝∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

解析 ：（1）注意到AD∥BC，那么∠APB＝∠PBC．

因为四边形EFCB沿折痕EF折叠后与四边形EFGP重合，

所以∠PBC＝∠BPH．

所以∠APB＝∠BPH．

（2）如图8，过B作BQPH于点Q．

因为∠APB＝∠BPH，

所以点B在∠APH的平分线上．

所以BQ＝BA＝BC．

所以RtABP≌RtQBP，RtBCH≌RtBQH．

所以QP＝AP，QH＝CH．

所以PH＝AP＋CH．

所以PDH的周长＝DP＋（AP＋CH）＋DH＝AD＋CD＝8．

所以点P在边AD上移动时，PDH的周长不会发生变化．

（3）假设四边形EFGP的面积S存在最小值．由于四边形EFCB沿折痕EF折叠后与四边形EFGP重合，则S＝

BE+CF 2 •BC

．接下去的任务是如何用x分别表示BE和CF．

因为∠A＝90°，

所以AP2+AE2=PE2．

因为AP＝x，PE＝BE＝4－AE，

所以x2+AE2=(4-AE)2.

所以AE＝ 16-x2 8 ，BE＝4－AE＝

16+x2 8 ．

过F作FMAB，垂足为M，则FM＝BC＝AB，CF＝BM．

因为EF为折痕，点B与点P是一对对应点，

所以EFBP．

所以∠PBA＝90°－∠FEM．

因为∠EFM＝90°－∠FEM，

所以∠PBA＝∠EFM．

因为∠A＝90°＝∠EMF，

所以PAB≌EMF．

所以ME＝AP＝x，CF＝BE－ME＝ 16+x2-8x 8 ．

所以S= BE+CF 2 BC=

1 2 x2-2x+8=

1 2 (x-2)2+6.

因为当 x＝2时，S的最小值为6，

所以四边形EFGP的面积S存在最小值为6．

说明 ：解答（1）的关键在于利用轴对称图形的性质证明∠PBC＝∠BPH；解答（2）的关键在于过B作BQPH于点Q，并利用（1）的结论证明BQ＝BA＝BC；解答（3）的关键在于用x分别表示BE和CF．要用x表示BE离不开用

x表示AE，要用x表示CF，过F作FMAB至关重要．