从高考试题说有相对运动的连接体模型

常见的连接体问题，大多是两个没有相对运动的连接体，但2016年海南卷考查了一道有相对运动的高考题.

高考真题 （海南卷13）水平地面上有质量分别为m和4m的物体A和B，两者与地面的动摩擦因数均为μ.细绳的一端固定，另一端跨过轻质动滑轮与A相连，动滑轮与B相连，如图1所示.初始时，绳处于水平拉直状态.若物块在水平向右的恒力F作用下向右移动了距离s，重力加速度大小为g.求

（1）物块B克服摩擦力所做的功；

（2）物块A、B的加速度大小.

由于绳子的长度不变，故A前进距离s时，AB间的绳子上面部分长了12s，下面部分短了12s，由于绳的固定端位置不动，B的位移为12s，AB两物体发生相对运动.

解析 （1）物块A移动了距离s，则物块B移动的距离为

s1=12s（1）

物块B受到的摩擦力大小为

f=4μmg （2）

物块B克服摩擦力所做的功为

W=fs1=2μmgs（3）

（2）设物块A、B的加速度大小分别为aA、aB，绳中的张力为T.由牛顿第二定律得

F-μmg-T=maA （4）

2T-4μmg=4maB （5）

由A和B的位移关系得

aA=2aB （6）

联立（4）、（5）、（6）式得

aA=F-3μmg2m （7）

aB=F-3μmg4m （8）

从上面的高考题可以看出，解决有相对运动的连接体问题，要找到连接体中物体间的位移关系、速度关系和加速度关系，要充分考虑两物体的受力关系.下面从物体间的运动关系对有相对运动连接体模型进行分类.

模型一 相向运动类

例1 如图2所示，轻绳连接两物体m1、m2，已知m1>m2由静止释放后，绳中拉力为多大？

运动关系：m1向下加速，m2向上加速，两物体加速度大小相等，方向相反，在任一时刻速度大小相等，方向相反.

受力关系：由于绳为轻绳，因此绳对m1、m2的作用力大小相同，方向也相同.

解析 对m1：m1g-T=m1a，对m2：T-m2g=m2a，因此a=m1-m2m1+m2g，T=2m1m2m1+m2g.

点评 该实验装置可以验证机械能守恒定律，考查牛顿第二定律等，是物理学常考的基本模型.

模型二 垂直运动类

例2 如图3所示，A物体的质量是m1，放在光滑的水平桌面上，用轻绳拴系，绳子绕过桌边的定滑轮后，挂一质量为m2的物块B，滑轮的摩擦不计，问绳子对A物体的拉力多大？

运动关系：A向右加速，B向下加速，两物体加速度大小相等，在任一时刻速度大小相等.

受力关系：由于绳为轻绳，因此绳对A、B的作用力大小相同.

解析 A物体和B物块的加速度大小为a，绳子的张力大小为F，对A物体应用牛顿第二定律得

F=m1a，

对B物体应用牛顿第二定律得m2g-F=ma，

由以上两式得a=m2gm1+m2，

绳子的拉力F=m1m1+m2m2g.

点评 利用该装置常考验证牛顿第二定律实验，由连接体模型可以看出绳的拉力不等于B的重力，二者近似相等是有条件的.

模型三 动滑轮关联类

例3 如图4所示，在光滑斜面上，AB两物体通过一个定滑轮N和动滑轮M相连，已知A向上加速，B向下加速，AB两物体的质量分别是m1m2，滑轮质量不计，求绳作用于AB的力分别多大？

运动关系：由图示关系可知，当A上滑距离s时，B下落距离为2s，因此在任一时刻vA=2vB，aA=2aB.

受力关系：考虑到滑轮M质量不计，因此有绳子作用于A、B两物体的作用力关系为FA=2FB.

解析 由图示关系可知，当A上滑距离s时，B下落距离为2s，因此在任一时刻vA=2vB，aA=2aB.

考虑到滑轮M质量不计，因此有绳子作用于A、B两物体的作用力关系为FA=2FB.

对A：FA-m1gsinθ=m1aA，对B：m2g-FB=m2aB，解得aB=2m2g-m1gsinθ2（m1+m2）， FB=2m1m2g+m1m2gsinθ2（m1+m2），FA=2m1m2g+m1m2gsinθ（m1+m2）.

点评 该题为海南高考试题的变式，属于一类重要模型，分析受力关系和运动关系是解决问题的关键.

模型四：追及和相遇类

例4 如图5所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑.弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内.在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有

A.当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B.当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C.当A、B的速度相等时，A的速度达到最大

D.当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

受力特点：弹簧弹力逐渐增大，对A是阻力，对B是动力

运动特点：A做加速度逐渐减小的加速运动，B做加速度逐渐增大的加速运动，如图6所示，当t=t1时，aA=aB；当taB；当t>t1时，aAvB.

解析 对A、B在水平方向受力分析如图6，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对A有F-F1=ma， 对B有F1=ma，得F1=F2，在整个过程中A的合力（加速度）一直减小而B的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于B的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于B的合力（加速度）.两物体运动的v-t图象如图，t1时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，A速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，t1时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值，选项B、C、D正确.

点评 一条直线上的A、B两物体的距离发生变化，属于追及和相遇问题.两物体的加速度时刻变化，利用该装置可以考查牛顿的第二定律、机械能等.

模型五：速度分解类

例5 在图7中，若物体B在水平恒力F作用下向左运动，使物体A保持匀速上升，那么在运动过程中

A.物体B受到的合外力不断增大

B.地面摩擦力不断增大

C.绳的拉力不断增大

D.物体B也作匀速运动

运动特点：B物体的速度分解图如图8所示，由图可知vB=vAcosθ，θ减小，vA不变，因此vB减小.

受力特点：A物体受两个力，即绳的拉力和A的重力，B物体受力图如图9所示.

解析 根据vB=vAcosθ，θ减小，vB减小，B物体做向左的减速运动，加速度方向向右，选项D错误；由于A物体匀速上升，因此绳的拉力FA=mAg，恒定不变，选项C错误；考虑到B物体在竖直方向的受力平衡FAsinθ+FN=mBg，当B向左运动时，θ减小，因此FN增大，地面摩擦力不断增大，选项B正确；B的水平方向F合=Ff+FAcosθ-F，因此物体B受到的合外力不断增大，选项A正确.选项A、B正确.

点评 本题的连接体问题牵涉到运动的合成与分解，利用速度的分解，判断速度的变化，从而得到加速度的方向是解决问题的关键.