“鸡兔同笼”的解题与教学

【中图分类号】G456 【文章标识码】B 【文章编号】1326-3587（2012）05-0084-02

鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。鸡兔同笼问题集题型的趣味性、策略的多样性、应用的广泛性于一体，不但可以使学生欣赏到算术解法的奇思妙想，而且具有训练智能的教育功能和价值，让学生在趣味的数学课堂中提高逻辑推理能力和运算技巧。

一、“鸡兔同笼”解题方法

鸡兔同笼问题的解题方法很多，有猜测法、画图法、假设法（假设都是鸡、假设都是兔、假设都抬腿）、列表法（逐一列举法、跳跃列举法、取中列举法）、代数法（一元一次、二元一次）等。每一种方法都各有优劣，我们来介绍主要的几种。

例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有22只脚。问：鸡有几只？兔有几只？

1、假设法。

假设法是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，将复杂的问题简单化，明朗化，从而迅速找到解题思路。

（1）假设笼子里都是鸡。若8只都是鸡，一共有8×2=16（条）腿，比实际22条腿少了22-16=6（条）腿，少这8条腿是因为把一只兔假设成一只鸡，每只就少4-2=2（条）腿，（即每只兔与每只鸡的腿数之差），6条腿需要这样的6÷2=3（只），这就是把3只兔假设成了鸡，所以兔就有3只，鸡就有8-3=5（只）。

（2）假设笼子里都是兔。若8只都是兔，一共有8×4=32（条）腿，比实际22条腿多了32-22=10（条）腿，多出的10条腿是因为把一只鸡假设成一只兔就多了4-2=2（条）腿（即每只兔与每只鸡的腿数之差），10条腿需要这样的10÷2=5（只），这就是把5只鸡假设成了兔，所以鸡就有5只，兔就有8-5=3（只）。

（3）抬腿法。 假设笼中的鸡兔训练有素，吹一声哨，它们都各抬起一只脚，即还剩22-8=14（条）腿，再吹一次口哨，它们又抬起一只脚，即还剩14-8=6（条）腿。而此时鸡一屁股坐地上了，兔子还有两只脚站立着，所以兔子有6÷2=3（只），鸡有8-3=5（只）。

2、列举法。

列举法也是数学中的通法，学生从不断尝试和调整中找到正确答案，从认知上看，列举法是学生比较容易掌握的方法。

（1）逐一列举法。（从头至尾，一个个列举）

鸡 8 7 6 5

兔 0 1 2 3

脚 16 18 20 22

（2）跳跃列举法。（从头开始，跳跃列举。）

鸡 8 6 5

兔 0 2 3

脚 16 20 22

（3）取中列举法。（从中开始，左右列举）

鸡 4 5

兔 4 3

脚 24 22

3、代数法。

代数法，要求学生分析问题中的量，确定等量关系，设未知数，列方程，求解。对学生的综合应用能力和抽象思维能力有一定要求，因此为教学增加了难点。由于小学数学只涵盖简易方程，因此二元一次方程不列入教学。

（1）一元一次方程：

解：设兔有χ只，那么鸡有（8-χ）只。根据鸡兔共有22只脚，那么有：

4χ+2（8-χ）=22 4χ+16-2χ=22 16+2χ=22

2χ=22-16 χ=3

鸡:8-3=5(只) (亦可设鸡为χ，那么兔就为（8-χ）只。而后列方程解。)

（2）二元一次方程：

解:设有鸡χ只，有兔У只，则

χ+ У =8 ①

2χ+4 У =22 ②

②-2×①得

У=3，χ=5

二、“鸡兔同笼”教学设计

鸡兔同笼中的解题方法如假设法需要学生具有较高的抽象思维能力，因此教材一般都安排在小学高年级进行。在教学过程中，教师要让学生在感受“鸡兔同笼”趣味性的同时，关注他们解题能力的提高。要引导学生在解决“鸡兔同笼”问题的过程中建立数学模型，要让学生体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的数学思想。以下的教学设计就体现了上述特点。

（一）情景激发 揭示课题

大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载一道数学趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

【走进数学趣题，利用情景激发学生学习的积极性，揭示学习课题。在教学过程中，给学生展示《孙子算经》中鸡兔同笼原题，让学生感受古代数学的魅力。】

（二）分析题意，尝试画图。

例一：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有22只脚。问：鸡有几只？兔有几只？

【鸡兔同笼原题的数据较大，不适合刚接触此种题型的学生，因此先用数据较为简单的例题，化繁为简、化难为易，有助于学生思考。】

同学们从题目中能获得哪些数学信息呢？

【引导同学们捕捉鸡兔头数脚数等隐藏信息】

猜一猜，画一画

如下图，每个圆圈代表一个头。画一画，看看能不能猜出鸡有几只，兔有几只？

【将猜想和假设并行，引导学生从用8个头猜测，从22只脚来，让学生思考其中的数学关系，为之后的代数法作铺垫。画图法的本质是假设。假设是一种重要的数学思想，它通过先假定一种情况，然后通过推导、验证来解决问题，在一定程度上将问题简单化。教学过程中利用画图假设，激发了学生兴趣，培养了学生的想象能和思考力。】

（三）理解不同，多样解题。

例二：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有20个头，从下面数有44只脚。问：鸡有几只？兔有几只？

你觉得用列表的方法方便吗？

【制造矛盾冲突，体现画图法、列表法的不方便，引导学生进一步思考和探索，同时有利于引出新方法。】

“从上面数有20个头，从下面数有44只脚”，你能根据其中的数量关系列出方程吗？

【引导学生根据题目中的数学关系列出简易方程，并在解题的过程中复习简易方程的解法，这就是代数的思想方法。这种思想方法会促进学生抽象思维的发展，提高学生从题目中找到可利用的信息并进行概括整理的能力。】

（四）亲历体验，激发兴趣。

例三：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有16只脚。问：鸡有几只？兔有几只？

每六个人分为一个小组，大家一起来体验一下“同笼”吧。

【让每个同学身临其境，体验假设法的思路，不仅让同学们体会到数学课堂的乐趣，同时使学生更深刻的记住假设法】

A、假设全是鸡，就请兔子抬起两只前脚来。这样，总脚数就少了16-2×6=4只，为什么呢？

每只兔子都抬起了2只前脚。那么，2只2只地添，添2次刚好4只脚。 其实就是一只兔子比一只鸡多4-2=2只脚，用4÷2求出有2只兔子，最后用6-2求出有4只鸡。

B、假设全是兔，就请鸡扑腾出两只来。这样，总脚数就少了（ ）只，为什么呢？

每只兔子都抬起了2只前脚。那么，2只2只地添，添（ ）次刚好（ ）只脚。 其实就是一只兔子比一只鸡多（ ）只脚，用（ ）÷（ ）求出有2（ ）只兔子，最后用（ ）-（ ）求出有（ ）只鸡。

想一想：

1、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有10只脚。可能吗？

2、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有28只脚。可能吗？

3、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有15只脚。可能吗？

【先用假设全是鸡的解法，引导学生的思考方向，再假设全是兔，让学生自己思考，举一反三，加深学生的印象。对于初次接触“鸡兔同笼”问题的学生来说，这样的活动不仅感到新鲜、有趣，而且能把握住“假设法”思路的本质。从“想一想”中更是训练了学生想象能力和推理能力，培养学生善于观察、善于思考的良好学习习惯。】

（五）建立模型，优化策略。

例四：小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,1角和5角的硬币各有多少枚?

【让学生做相似的题型，旨在建立数学模型，促进思维内化，灵活掌握解题技巧，举一反三。以后遇到如如“龟鹤问题”、“坐船问题”、“门票问题”等，学生也都可以用鸡兔同笼的解题方法式进行。这样，才能真正形成对鸡兔同笼问题的构题特征与解法思路有规律性的认识。】

（六）全课反思，总结提升。

小结：这节课你有什么收获？还有什么问题？

【让学生自由发言，互相补充，反思在学习过程中的得与失。养成总结和反思的良好习惯。】

在鸡兔同笼的解法中，每一种解题方法都有它的局限性。在教学过程中，教师应根据学生的年龄特点和认知规律，选择一般方法，并对不同的方法进行比较，选出最优方案。当然在数学教学过程中加入趣味的元素，激发学生的兴趣是很有必要的。