求点到平面的距离五法

一、利用点到平面的距离的定义

例1 如图1，已知三棱锥S-ABC中，ABC是边长为2 的等边三角形，SA平面ABC，SA=3，那么点A 到平面SBC 的距离为_______.

分析 要求点A到平面SBC 的距离，可以考虑由点A向SK作垂线，其中点K是BC的中点.

解 取BC的中点为K，连接SK，AK.由ABC是边长为2 的等边三角形，可得BCAK，AK= .由SA平面ABC，AB=AC，可得SB=SC，所以SK 是SBC的中线，SK = =2 ，且BCSK.又SK∩AK=K，于是可得BC平面ASK.作ADSK交SK于点D，可得BCAD.又SK∩BC=K，则AD平面SBC，即点A 到平面SBC的距离等于线段AD的长.由SA・AK= AD・SK，得AD= = ，即点A 到平面SBC 的距离为 .

小结 求点到平面的距离，可以由该点向平面作垂线，将垂线放在三角形中求解.

二、转化为求另一个点到平面的距离

例2 如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求上底面中心O到平面ABC1D1的距离.

分析 由图2可知，点A1和点O到平面ABC1D1 的距离之比为2 ∶1，不妨先求点A1到平面ABC1D1 的距离.

解 连接A1D，A1D与AD1交于点K，可知A1KAD1.又A1KAB，AB∩AD1 = A，则A1K平面ABC1D1.所以，点A1到平面ABC1D1的距离等于线段A1K的长，A1K= .由点O 是线段A1C1的中点，可知点O到平面ABC1D1的距离为 A1K= .

小结 当点到平面的距离不易直接求得时，可以先找出过该点的线段（该平面的斜线段），通过斜线上两点到斜足的距离关系，将问题转化为求另一个点到平面的距离.

三、等体积法

例3 如图3，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E 为弧AEC的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面BDE 外一点F 满足FC平面BDE ，FB = a，求点B到平面DEF 的距离.

分析 由于点B到平面DEF的距离等于三棱锥B-DEF的高，所以可以借助三棱锥B-DEF的体积来求点B到平面DEF的距离.

解 由点B 和点C 为线段AD 的三等分点，及半圆的半径为a，可得BC=a，BD=2a.由点E为弧AEC的中点，可得BEBC，BE=a.于是可知SBDE = BD・BE=a2，DE= = a.在RtFBC 中，FC= =2a；在RtFDC 中，FD = = a；在RtBEF中，EF= = a.所以，DE=FD，SDEF = EF・ = .设点B 到平面DEF 的距离为h，由VF-BDE =VB-DEF，即 FC・SBDE = h・SDEF，得h= .所以，点B 到平面DEF 的距离为 .

小结 点到平面的距离不易求时，可以转化为求三棱锥的高，利用三棱锥的特点――换个角度，侧面可以视为底面，由等体积法求得.

四、利用向量的数量积

例4 如图4，已知棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，求点B 到平面AEF 的距离.

分析 点B到平面AEF的距离等于 在平面AEF 的法向量n 上的投影的长度，利用向量的数量积来求解.

解 建立空间直角坐标系，如图5所示，则点A的坐标为（2，0，2），点E的坐标为（0，0，1），点F的坐标为（2，2，1），点B的坐标为（0，0，2）， =（2，0，1）， =（2，2，0）.设平面AEF 的法向量n=（x，y，z），则由n・ =0，n・ =0，得2x+z=0，2x+2y=0.取一组特殊解x=-1，y=1，z=2，即n=（-1，1，2），则n的单位向量n1= = （-1，1，2）.又 =（-2，0，0），| ・n1|=|（- 2，0，0）・ （-1，1，2）|= ，即点B到平面AEF的距离为 .

小结 点B 到平面α 的距离，可以借助向量的数量积，利用公式d=| ・n1|来求解，其中A是平面α内任意一点，n1是平面α的单位法向量.

五、利用点到平面的距离公式

例5 已知三点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），求原点O（0，0，0）到平面ABC的距离.

分析 类比点到直线的距离公式得出点到平面的距离公式，用公式来求解.

解 类比直线在x轴和y轴上的截距以及直线的截距方程 + =1，由条件可知平面ABC在x轴，y轴和 z轴上的截距分别为1，2，3，平面ABC 的截距方程为 + + =1，即平面ABC的一般方程为6x+3y+2z-6=0.类比平面上点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0 的距离公式d= ，可得空间上点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+E=0的距离公式为d= .

原点O（0，0，0）到平面ABC：6x+3y+2z-6=0的距离d= = .

小结 在空间直角坐标系中，点（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+E=0的距离d= ，此公式可以利用例4小结中的公式d=| ・n1|来证明.（责任编校？筑冯琪）