新课程下的递推数列教学新论

摘 要： 递推数列是高中数学中的重要内容，因此在新课程下我们要加强对此的教学。本文作者认为在此教学中必须循序渐进，明确教什么、怎么教、怎么练习是关键。

关键词： 递推数列 教学 通项公式

新课程标准中对递推数列没有明确要求，且不同版本的教材对此意见不一致。但是递推数列是高考常考的内容之一，而且有一定的难度。因此在平时教学中我们必须补上这一课。

1.教什么

递推数列的教学是在学生学了等差与等比数列的基础上，对数列作进一步研究的教学，由递推公式求数列的通项公式主要是等差等比数列的知识和方法的应用。在高中范围内主要补充以下几个递推数列：

a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1），

a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），

a=pa+qa（n≥3）（p，q为常数，pq≠0）。

2.怎么教

由递推公式求数列的通项公式是教学中的重点和难点，教师必须设计好，使问题容易入手，首先让学生有个感性的认识，然后让学生体会。笔者认为这样教的效果较佳。

2.1用证明题指明方向

例1：已知数列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求证：（I）数列{a-a}为等比数列；（II）数列a+为等比数列。

证明：（I） a=4a+1（n＞1），a=4a+1，a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，数列{a-a}为等比数列。

（II） a=4a+1（n＞1），a+=4（a+）。而a+=≠0，数列a+为等比数列。

例2：已知数列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求证：数列{a+3n+5}为等比数列。

证明：a=2a+3n-1（n＞1），a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，数列{a+3n+5}为等比数列。

例3：已知数列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2）。求证：数列{a+an}、{a-3a}为等比数列。

证明：a=2a+3a（n＞2），a+a=3（a+a），而a+a=7≠0，{a+a}为等比数列。

同法可证{a-3a}为等比数列。

注：对于证明题，学生目标明确，只要恰当构造所要研究的数列，利用等差或等比数列知识就能使问题得到解决。这个阶段使学生有个感性的认识，关键是让学生有个理性的思考方向。

2.2用求解题教会方法

将上面的3个例子如果全部换为求数列{a}的通项公式应当怎么解决呢？若没有先证的结论问题，学生解决此类问题会有不小的困难，因此教学递推数列的目的还是要求学生掌握由此求通项公式的方法。现在回到前面研究所要证明的结论，如果能够解决这个结论产生的根源也就可以了。上面的几个结论的证明是有目的的构造，这种方法对于问题的解决可能一目了然。但对于复杂的问题我们就要选择其它的方法了。下面笔者谈谈处理此问题的两个比较典型的方法：待定系数法和递推再现相减法。

（1）a=pa+q（n＞1）（pq≠0，p≠1）型，可转化为a-a=p（a-a）（n＞1），即数列{a-a}为等比数列；也可转化为a+c=p（a+c）?圯c=，即数列{a+c}为等比数列。

例4：已知数列{a}中，a=，a=4a+1（n＞1）。求数列{a}的通项公式。

解法1：a=4a+1（n＞1），a=4a+1，a-a=4（a-a）（n＞1）。而a-a=4a+1-a=≠0，数列{a-a}是以a-a=为首项，4为公比的等比数列。 a-a=×4，再由a=4a+1得a=×4-。

解法2：设a+c=4（a+c），则a=4a+3c，c=，而a+=≠0，数列a+为等比数列，a+=×4，即a=×4-。

（2）a=pa+kn+b（n＞1）（pk≠0，p≠1），可转化为：a-a=p（a-a）+k（n＞1），由类型（1）处理；也可转化为：a+cn+d=p［a+c（n-1）+d］?圯c=，d=。

例5：已知数列{a}中，a=1，a=2a+3n-1（n＞1）。求数列{a}的通项公式。

解法1 ：a=2a+3n-1（n＞1），a=2a+3（n+1）-1，a-a=2（a-a）+3，a-a+3=2（a-a+3），数列{a-a+3}是等比数列，故a-a+3=（a-a+3）2，2a+3（n+1）-1-a+3=9・2，即a=9・2-3n-5。

解法2：令a+cn+d=2［a+c（n-1）+d］（n＞1），则a=2a+cn-2c+d=2a+3n-1，c=3，d=5，a+3n+5=2［a+3（n-1）+5］，而a+3×1+5=9，a=9・2-3n-5。

（3）a=pa+qa（n≥3）（p，q为常数，pq≠0）型，可转化为a-αa=β（a-αa）?圯α+β=pαβ=-q，解方程组求出α和β。即数列{a-αa}、{a-βa}分别以β，α为公比的等比数列。

例6：已知数列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n＞2），求数列{a}的通项公式。

解：令a-αa=β（a-αa）（n＞2），则a=（α+β）a-αβa（n＞2），由α+β=2αβ=-3，得α=-1β=3或 α=3β=-1，a+a=3（a+a）或a-3a=-（a-3a）（n＞2），a+a=7・3a-3a=-13・（-1），a=。

3.结语

“能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题”。这句话说明了新课程要求深入掌握递推数列。笔者认为以往对递推数列的教学与考查并没有“双基异化”的倾向，相反，递推数列能够培养学生的观察、归纳、猜想等合情推理的能力，更能够培养学生的计算、逻辑推理能力。因此在新课程教学中我们对此应有所突破，而不能照本宣科。

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