磁偏转问题分类讨论原因分析

带电粒子在洛仑兹力作用下的圆周运动问题，是近年来高考的热点问题，也是同学们感到头痛的一类问题，尤其是分类讨论问题，有些同学更是觉得无从着手。其实，如果能弄清需要分类讨论原因，这类问题就迎刃而解了。那么，这类问题需要分类讨论的原因是什么呢？一般有以下有几个方面。

一、带电粒子电性不确定形成多解

例1 如图1，在x>0，y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m，电量为q的带电粒子，在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射出此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场。若不计重力的影响，由这些条件可知（）

A?郾 不能确定粒子通过y轴时的位置

B?郾 不能确定粒子速度的大小

C?郾 不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间

D?郾 以上三个判断都不对

解析 由于本题没有说明粒子的电性，所以要分两种情况考虑。

① 当粒子带正电时，依左手定则可知，粒子能够到达y轴，圆心一定是O点，半径为x0，所以粒子经过y轴正半轴上距O为x0的点。由半径公式知x0=■，所以v=■，可以确定粒子速度的大小。粒子到达y轴上的时间t=■T=■，可以确定粒子在磁场中运动所经历的时间。

② 当粒子带负电时，依左手定则知，粒子不能到达y轴，与题意不符。

综上所述，选项D正确。

二、磁场方向不确定形成多解

例2 图2为一“滤速器”装置示意图。a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的粒子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间。为了选取具有某种特定速率的粒子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选粒子仍能够沿水平直线OO′运动，由O′射出。若不计重力作用，可能达到上述目的的办法是（）

A?郾 使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里

B?郾 使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里

C?郾 使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外

D?郾 使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外

解析 本题中的电场和磁场都有两个可能的方向，所以要分类讨论。

① 当a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里时，正粒子所受电场子力向下，而洛仑兹力方向向上，可能平衡；负粒子正好相反，也能平衡。当磁场方向垂直纸面向外时，正粒子电场子力的方向仍向下，而洛仑兹力的方向变为向下，不能平衡。负粒子所受电场子力和洛仑兹力都向上，也不能平衡。所以A正确。

② 当a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里时，正粒子所受电场子力向上，洛仑兹力也向上，不能平衡；而负粒子所受的电场子力和洛仑兹力都向下，也不能平衡。当磁场方向垂直纸面向外时，正粒子所受电场子力向上，洛仑兹力向下，能平衡；而负粒子所受电场子力向下，洛仑兹力向上，也能平衡。所以D正确。

故选A、D。

三、临界状态不唯一形成多解

例3 如图3所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场。若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（）

A?郾 在b、n之间某点 B?郾 在n、a之间某点

C?郾 a点 D?郾 在a、m之间某点

解析 氢核从ad边射入磁场后，根据左手定则，可能从ab边、bc边或ad边射出，究竟从哪边射出，取决于其回旋半径的大小。从题意知原来从ad的中点m射入，从ab的中点n射出，所以依左手定则知其回旋半径R=■ad，圆心是a点。又由R=■知，其他条件不变时R∝■，故当B变为原来的2倍时，其半径变为原来的一半，即■ad，据此可知，氢核必定从a点射出磁场。故选项C正确。

四、粒子进入磁场时的速度方向不确定形成多解

例4 如图4，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m，带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。若不计重力，不计粒子间的相互影响，下列图5中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=■，则正确的图是（）

解析 由于粒子进入磁场的方向在MN上方0°～180°的范围内的所有可能方向，所以不同方向进入的粒子的运动轨迹不同，但所有轨迹的圆心都分布在以O为圆心，R为半径的圆周上（如右图中的虚线圆所示），不难画出一系列的粒子的圆周运动轨迹如右图所示（实线圆周）。由右图6可知，粒子所能到达的区域范围应该是选项A所示的范围。故选项A正确。

五、运动的周期性形成多解

例5 如图7所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

解析 粒子在整个过程中的速度大小恒为v，交替地在xOy平面内B1与B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周。

设粒子的质量和电荷量的大小分别为m和q，圆周运动的半径分别为r1和r2，则有

r1=■，?摇 ?摇?摇①

r2=■。?摇 ?摇?摇②

现分析粒子运动的轨迹。如图8所示，在xOy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至O1点，OO1的距离

d=2（r2-r1）， ?摇 ?摇?摇③

此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴），粒子的y坐标就减小d。设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn即nd满足

nd=2r1，?摇?摇?摇 ④

则粒子再经过半圆Cn+1就能经过原点，式中n=1，2，3，…为回旋次数。

由③④式解得■=■（n=1，2，3，…）。?摇?摇 ?摇⑤

联立①②⑤式可得B1、B2应满足的条件为

■=■（n=1，2，3，…）。

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