降雨强度与稳定入渗率关系的公式化分析

[摘要]稳定入渗率在设计洪水的计算中起着将一次净雨过程分割为地表净雨过程与地下净雨过程的作用,以前稳定入渗率fc的确定是由i～fc经验关系曲线人工读出的,对工程计算带来诸多不便,该文拟合了某地区i～fc经验关系曲线的一个表达式,并对此表达式与经验关系曲线的符合效果进行分析。

[关键词]稳定入渗率降雨强度经验关系曲线公式化

1降雨强度i与稳定入渗率fc的经验关系

稳定入渗率fc在设计洪水的计算中起着将一次净雨过程分割为地表净雨过程与地下净雨过程的作用,通常我们将各站各次洪水以次净雨平均强度i为纵坐标,以稳定入渗率fc为横坐标,点绘相关图进行综合分析。相关点子数据见表1,相关点子图如图1所示(本文示例数据采为某地区的50次洪水的统计数据)。

表 1实测降雨强度i与稳定入渗率fc的关系表 单位:mm/h

项目 i～fc关系数据

i(测) 0.0 4.0 4.0 4.4 4.4 4.6 4.8 5.0 5.0 5.5

fc(测) 0.00 2.00 3.98 3.20 5.00 2.20 2.10 3.40 4.80 4.80

i(测) 5.6 5.7 5.8 6.7 6.8 7.2 7.4 7.9 8.2 8.5

fc(测) 3.10 5.20 1.70 4.60 2.80 7.80 6.30 2.90 3.40 2.10

i(测) 8.8 9.0 9.1 9.2 9.3 9.5 9.8 9.9 10.2 10.5

fc(测) 4.10 4.70 3.80 5.20 2.70 6.90 2.40 8.30 4.90 3.90

i(测) 11.0 11.3 11.7 11.8 12.5 13.8 15.1 16.1 16.5 16.6

fc(测) 5.70 6.20 4.70 7.10 7.70 9.60 12.50 4.90 4.50 9.70

i(测) 17.4 18.2 18.6 19.0 28.2 31.0 35.0 40.0 50.0 60.0

fc(测) 8.10 9.30 8.70 12.00 7.90 8.80 9.60 10.40 11.80 12.90

图1净雨平均强度i与稳定入渗率fc相关点子图

稳定下渗率fc是由地下径流分析得来,往往稳定下渗率fc大地下径流也大,在分割地表与地下径流时,退水段第二拐点位置的确定带来一定的任意性,所以i～fc的相关点在小洪水时比较散乱。从设计安全考虑,通常人们会定出一条综合的i～fc相关曲线,如图2所示。

图2净雨平均强度i与稳定入渗率fc关系曲线图

图2中所示i～fc曲线为随机经验型光滑曲线,当降雨强度i较小时,稳定入渗率fc迅速增大;之后随着降雨强度i的增大,稳定入渗率fc增速逐渐减小;当降雨强度i增大到一定值时,稳定入渗率fc不再增大,而是趋于稳定。经验曲线读出数据如表2所示。

表 2降雨强度i与稳定入渗率fc的经验关系 单位:mm/h

项目 i～fc关系数据

i(读) 0.0 4.0 4.4 4.6 4.8 5.0 5.5 5.6 5.7

fc(读) 0.00 1.64 1.79 1.86 1.93 2.00 2.18 2.22 2.25

i(读) 5.8 6.7 6.8 7.2 7.4 7.9 8.2 8.5 8.8

fc(读) 2.29 2.59 2.63 2.76 2.83 3.00 3.09 3.19 3.29

i(读) 9.0 9.3 9.5 9.8 9.9 10.2 10.5 11.0 11.3

fc(读) 3.35 3.45 3.51 3.60 3.64 3.73 3.82 3.98 4.07

i(读) 11.7 11.8 12.5 13.8 15.1 16.1 16.5 16.6 17.4

fc(读) 4.19 4.22 4.42 4.80 5.16 5.43 5.54 5.57 5.78

i(读) 18.2 18.6 19.0 28.2 31.0 35.0 40.0 50.0 60.0

fc(读) 5.99 6.09 6.19 8.27 8.83 9.56 10.38 11.79 12.92

2降雨强度i与稳定入渗率fc关系的模拟公式

虽然i～fc经验关系曲线有其自身规律,但是曲线轨迹很难用简单的函数公式表达出来,人们在应用i～fc经验关系曲线的通常的做法是:先计算出净降雨强度i,然后根据净降雨强度i的大小在i～fc经验曲线上读出对应的稳定入渗率fc的值。这样的应用方式在手算的过程中是可以接受的,但是对计算机编程带来了诸多不便。人们通常在i～fc经验曲线上读出一些具有代表性的点子输入编程语言中,当计算数据处于两个点之间时,程序设置插值语言进行计算,这就使原本光滑的i～fc经验关系曲线被人为转化成由多线段连接起来的一条折线。如果代表点选取适当,计算结果误差就相对较小;如果代表点选取不慎,计算结果就可能出现较大误差,并且误差可能在计算过程中得到传播与放大,从而使计算结果可靠性大为降低。

2.1 i～fc模拟公式的提出与检验

虽然i～fc关系曲线是经验曲线,而且曲线轨迹很难用简单的函数公式表达出来,但是我们相信i～fc关系曲线的表达式是客观存在的。随着计算机的发展和计算方法的改进,借助一些特殊的计算软件寻求一条与i～fc经验关系曲线保持较小误差的、可以由特定公式表达的曲线轨迹是可以实现的。

本文借助计算软件拟合了某地区i～fc经验关系曲线的一个表达式(1),并对此表达式的特性进行分析。

(1)

fc:稳定下渗率,mm/h;

i :净雨强度,mm/h。

i～fc经验关系曲线读数与模拟曲线计算数之间误差分析见表3,i～fc经验关系曲线与模拟曲线比较图见图3。

表 3经验曲线数值与模拟曲线计算数值误差分析

序号 i fc(读) fc(计) 绝对差值 相对差值

mm/h mm/h mm/h mm/h %

1 0 0.00 0.002 0.002

2 1 0.47 0.477 0.007 1.40

3 2 0.89 0.883 -0.007 0.73

4 3 1.28 1.271 -0.009 0.74

5 4 1.65 1.644 -0.006 0.39

6 5 2.00 2.005 0.005 0.24

7 8 3.00 3.029 0.029 0.95

8 11 4.00 3.975 -0.025 0.61

9 13 4.60 4.569 -0.031 0.68

10 18 5.90 5.934 0.034 0.57

11 22 6.90 6.917 0.017 0.24

12 26 7.80 7.813 0.013 0.17

13 31 8.80 8.825 0.025 0.28

14 35 9.60 9.556 -0.044 0.45

15 40 10.40 10.384 -0.016 0.16

16 50 11.80 11.788 -0.012 0.10

17 60 12.90 12.919 0.019 0.15

图3i~fc经验关系曲线与模拟曲线比较图

由表3可知,由公式(1)计算得出的稳定入渗率fc成果与i～fc经验关系曲线读出来的成果绝对误差都在-0.044到0.034之间,相对误差除i=1时较大为1.40%之外,其它数据,即2≤i≤60时,相对误差都在1.00%以内,并且相对误差值随着i的增大有波动性减小的趋势。

2.2 i～fc模拟公式的合理性分析

前面提到在一般的工程运算中,人们通常在i～fc经验关系曲线上读出一些具有代表性的点子输入编程语言中,当计算数据处于两个点之间时,程序设置插值语言进行计算。显然采用i～fc经验关系曲线取点插值计算与采用i～fc模拟公式计算相比是比较麻烦的,那么,采用何种运算所得结果更接近i～fc经验关系曲线轨迹呢?通过运算得到成果见表4(表中序号为偶数的行为插值计算行)。

表 4插值计算与公式计算值误差比较表

序号 i fc(读) fc(计) fc(插) fc(计) fc(插) R(计) R(插)

mm/h mm/h mm/h mm/h mm/h mm/h % %

1 0 0.00 0.00 0.00 0.002

2 1 0.47 0.48 0.44 0.007 -0.025 1.40 5.32

3 2 0.89 0.88 0.89 -0.007 0.73

4 3 1.28 1.27 1.27 -0.009 -0.010 0.74 0.78

5 4 1.65 1.64 1.65 -0.006 0.39

6 5 2.00 2.00 1.99 0.005 -0.013 0.24 0.63

7 8 3.00 3.03 3.00 0.029 0.95

8 11 4.00 3.98 3.96 -0.025 -0.040 0.61 1.00

9 13 4.60 4.57 4.60 -0.031 0.68

10 18 5.90 5.93 5.88 0.034 -0.022 0.57 0.38

11 22 6.90 6.92 6.90 0.017 0.24

12 26 7.80 7.81 7.74 0.013 -0.056 0.17 0.71

13 31 8.80 8.82 8.80 0.025 0.28

14 35 9.60 9.56 9.51 -0.044 -0.089 0.45 0.93

15 40 10.40 10.38 10.40 -0.016 0.16

16 50 11.80 11.79 11.65 -0.012 -0.150 0.10 1.27

17 60 12.90 12.92 12.90 0.019 0.15

由上表可知,通过i～fc经验关系曲线插值计算出的fc值与由i～fc模拟公式计算出的fc值相比有如下结论:

(1) fc(插)值全部位于i～fc经验关系曲线的上方,即fc(插)全部小于fc(读),绝对误差在-0.010与-0.150之间。

(2)fc(计)较为均匀的分布在i～fc经验关系曲线两侧,绝对误差在-0.044与0.034之间。

(3)在降雨强度i取值相同时,多数fc(插)误差绝对值比fc(计)大。

(4)在降雨强度i取值相同时,多数fc(插)误差相对值也比fc(计)大。

至此,我们认为i～fc模拟公式计算出的fc(计)值比i～fc经验关系曲线插值计算出fc(插)值更为合理,即i～fc模拟公式计算方法合理、简单、高效。

3结论

降雨强度i与稳定入渗率fc经验关系曲线是在下渗理论的基础上依个人经验绘制的,即使同样的数据,由不同的人所绘制的i～fc经验关系曲线是不同的,同样一条i～fc经验关系曲线由不同的人读出的数据也是随机的。所以根据i～fc经验关系曲线插值计算得出的fc值具有不唯一性与取值偏小性。不唯一性是属于人为多次取值误差造成的,取值偏小性是计算方法本身的缺陷决定的。

降雨强度i与稳定入渗率fc经验关系曲线模拟公式化以后,不但使应用计算更为方便,避免人为多次取值带来的误差,使计算结果具有唯一性,而且改善了计算方法,使计算结果更为合理。