ARMA模型的加速退化试验

《中国测试杂志》2014年第三期

1基于ARMA的加速退化数据建模

时间序列分析是采用参数模型对观测得到的有序随机数据进行分析的一种处理方法，通过时间序列可以对产品的动态特性进行分析，对未来的发展趋势做出预测[7]。ARMA主要是利用大量的历史数据来建模，经过模型识别、参数估计、模型检验来确定一个能够描述所研究时间序列的数学模型，进而推导出预测模型达到预测的目的。ARMA（p，q）的一般形式为这一模型就称作p阶自回归-q阶滑动平均混合模型，记为ARMA（p，q）模型。特殊地，若p=0，记为MA（q）；若q=0记为AR（p）；若p=q=0，模型退化为Xt=Zt，即{Xt}为白噪声序列。基于ARMA的加速退化数据建模步骤如下：（1）ARMA模型所适合描述的对象是平稳的随机序列，因此首先判断退化数据序列的平稳性，若序列非平稳，则需对原数据进行预处理，对数据求差分使其平稳。（2）ARMA模型识别，模型识别有两种方法，一是根据序列的自相关和偏相关系数来判断，若自相关函数ACF在滞后数p后截尾和偏相关系数PACF在滞后数q后截尾，则截数分别为p和q。二是利用赤池准则（AIC）和贝叶斯准则（BIC），通过比较判断不同阶模型的AIC或BIC值来确定p和q，它们越小，模型拟合越优。（3）用时间序列的数据，估计模型的参数，并通过退化数据序列的前k个值进行预测后m-k个退化值，进行检验，以判定模型是否恰当。（4）根据时间序列模型，预测性能退化量，并根据事先假定的失效阈值来推出产品的失效时间。

2加速退化试验数据可靠性评估

2.1寿命分布的拟合检验通过时序模型得到产品的伪失效寿命之后，需对其分布进行拟合优度检验，利用最小二乘法求出寿命数据的线性回归曲线及其相关系数，分别用产品可能服从的寿命分布对其分布检验，可以采用相关系数r1的程度判断哪种分布更好。

2.2寿命分布参数估计利用2.1节确定寿命的分布类型后，可利用参数估计理论对其参数进行估计，可用于产品寿命分布参数估计理论有极大似然估计（MLE）、图估计法、最小二乘估计（LSE）、逆矩估计、最佳线性无偏估计（BLUE）、简单线性无偏估计（GLUE）、近似无偏估计（AUE）、线性不变估计（LIE）等方法。这些方法中，除MLE外的其他估计方法均需要人为干预，如系数查表等。MLE应用于加速寿命试验数据分析通用性好，不仅适用于绝大部分理论分析，而且MLE估计量有非常好的统计特征。因此，本文利用极大似然估计法（MLE）对寿命分布参数进行估计。假定产品寿命服从正态分布，利用极大似然估计方法对其寿命分布进行参数估计，样本的对数似然函数为将lnL（μ，σ2）分别关于两个分量求偏导并令其为零得到似然方程组，解此方程组可得μ和σ的极大似然估计分别为其他寿命分布的的极大似然估计与正态分布相似，文献提及的也较多，在这里不再赘述。

3算例

以文献[8]中功能电路加速退化试验数据为例，该试验以某型雷达供电装置内24V-2A稳压电源板为试验对象，分别在95，105，115，125℃下进行加速退化试验，每组试验用8块相同的电路板，对每块电路板中的一个电压输出幅值进行监控，各应力下性能退化量（幅度）随时间的变化规律如图1所示。电路在125℃条件下，试验过程中出现工作状态不稳定、数据波动大、故障频率高、规律性差等现象，研究意义不大，因此，不对该试验数据进行处理。利用本文方法对前3组加速退化数据进行可靠性评估步骤如下。

3.1时间序列建模（1）以不同应力下各样品性能特征量的均值构造时间序列{μt}（2）模型定阶与参数估计以95℃下的幅度均值时间序列进行分析，其自相关函数与偏自相关函数如图2所示。其中，ACF是3步截尾，PACF是2步截尾，故确定ARMA模型为ARMA（3，2），同上所述，可通过分析自相关与偏自相关系数的方法确定105，115，125℃下的幅度均值时间序列模型为ARMA（2，2），ARMA（2，2），利用Matlab系统辨识工具箱进行模型识别。（3）外推失效时间通过试验，95℃下只失效1块电路板，105℃下失效3块，15℃失效5块，只对未失效的电路板进行伪失效寿命预测。根据上述得到的ARMA模型表达式以及已有的退化数据和预测的退化数据，可以获得样品达到失效阈值的退化数据，其所对应的时间即为失效时间：

3.2可靠性评估（1）分布的拟合优度检验与参数估计。得到伪失效寿命后，先进行分布假设检验，经分布的假设检验，符合正态分布，得到均值、方差如下。利用极大似然估计方法，得到95℃下伪失效寿命服从正态分布，参数的点估计为：u1=11354，σ1=1.7126×103；105℃下参数的点估计：u2=7912，σ2=1.1201×103；115℃下参数的点估计u3=2552，σ3=1.0643×103。（2）加速模型的确定。常用的加速寿命模型包括Arrhenius模型、逆幂率模型、Eyring模型、数学加速模型等。阿伦尼斯在大量数据的基础上于1889年，提出如下适用于温度应力下的加速模型：式中：ξ———产品的特征寿命，如中位寿命、平均寿命等；A———常数，且A>0；E———激活能，与材料有关，eV；K———波尔兹曼常数，为8.617×10-5eV/℃，从而可知E/K的单位是温度，故又称E/K为激活温度；T———绝对温度，等于摄氏温度加273。Arrhenius模型表明，寿命特征将随着温度上升而按指数下降，对式（5）两边取对数，可得lnξ=a+bT（6）其中a=lnA，b=E/K。它们均是待定的参数，式（6）表明寿命特征的对数是温度倒数的线性函数。因此，本例选用阿伦尼斯加速模型。（3）加速模型中的参数估计。采用Arrhenius加速模型外推出产品在正常使用条件下的分布参数：μ赞=exp（-19.16+10530/T）σ赞=exp（-1.663+3328/T）所以正常使用条件下（T=298K）的参数μ赞0=1.06×106，σ赞0=1.34×105从而得到产品在正常温度下的可靠度曲线如图3所示。参考文献[8]证明了该可靠度曲线的合理性，从图3中可以看出，本文方法与文献[8]的结果非常接近。因此，基于时间序列ARMA建模的可靠性评估方法具有一定的有效性。

4结束语

基于时间序列ARMA建模的加速退化数据可靠性分析方法对于高可靠退化型产品进行可靠性评估具有良好的效果，并且具有较好的适用性。利用失效退化之前的数据建模在于探索失效规律，可以适用于失效退化阶段预测，预测结果具有参考意义，但不一定很准确。当失效样本数据不足时，只能是一种探索性的预测，不能保证建模精度和预测精度，在无失效样本或样本数据较少的情况下，需要探索新的有效方法对可靠性进行评估。

作者：黄运来张国龙邓陈柏航单位：63981部队军械工程学院光学与电子工程系