关于不等式证明的若干方法

摘要：文章总结了利用高等数学的知识证明不等式的若干方法，指出每一种方法的适用范围和使用时应注意的事项及具体步骤.

关键词：微分中值定理；单调性；极值；泰勒公式；凹凸性

引言：在数学分析中，不等式的讨论甚至不等式的推演是很常见的.对简单不等式的证明可以通过作差或作商或与1作比较解决.碰到较为复杂的不等式使用高等数学的方法讨论将会收到事半功倍的效果，本文总结了几种利用高等数学知识证明不等式的方法.

1 利用函数的单调性及微分中值定理

命题1：设f（x）定义在区间I内，若f'（x）＞0（或f'（x）＜0），x∈I则函数f（x）在I内严格增加（或严格减少）.

实质：根据所证的不等式构造一个函数F（x），利用导数的符号判断F（x）的单调性，使得被证明的不等式转化为一个单调函数在两点的函数值的比较.

命题2：（lagrange中值定理）若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f'（?孜）=■，其中?孜∈（a，b）.

例1：设e＜a＜b＜e2，证明ln2b-ln2a＞■（b-a）.

证明：对f（x）=ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理得：ln2b-ln2a=■（b-a），（a＜?孜＜b）

设?渍（t）=■，则?渍'（t）=■

当t＞e时，?渍'（t）＜0，所以?渍（t）单调减少

从而?渍（?孜）＞?渍（e2）

即■＞■=■

故ln2b-ln2a＞■（b-a）

应用函数的单调性及微分中值定理证明不等式问题是一种较常用的方法，具体步骤如下：

①在[a，b]上由题意引入函数f（x）.

②写出微分中值公式f'（?孜）=■，?孜∈（a，b）.

③这里的关键也是辅助函数的引入，对f'（?孜）进行估值m≤f'（x）≤M从而有m≤■≤M.

2 利用曲线的凹凸性

命题3：若f（x）为（a，b）内的凹（或凸）函数，且x1，x2，…，xn∈（a，b）

则f（■）≥■

（或f（■）≤■）

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.（可由函数凹凸性的定义和推论证明）

例2：证明当x＞0，y＞0时，xlnx+ylny≥（x+y）ln■

证明：令f（t）=tlnt，则f''（t）=■，当t＞0时，f''（t）＞0为凸函数

当x＞0，y＞0时有■≥f（■）

即xlnx+ylny≥（x+y）ln■

此方法适用于函数在指定区间上的曲线具有凹（凸）性，证明的具体步骤是：

①引入辅助函数，求辅助函数的一二阶导数.

②判断二阶导数在所给区间上的符号.

3 利用函数的极值与最值

定义：设f（p）定义在U（p0），若?坌p∈U（p0），p≠p0，f（p）＜f（p0）（或f（p）＞f（p0）），求n元函数f（x1，x2，…，xn）在约束条件g（x1，x2，…，xn）=0下的条件极值，可先构造函数

F（x1，x2，…，xn，λ）=f（x1，x2，…，xn）+λg（x1，x2，…，xn）

然后分别对x1，x2，…，xn，λ求偏导数的方程组

■=0■=0…■=0■=g（x1，x2，…，xn）=0

解上方程组得函数F（x1，x2，…，xn，λ）的唯一稳定点p（x10，x20，…，xn0，λ0），再根据具体问题加以分析判断F（x1，x2，…，xn，λ）是否存在极大值或极小值，最后代入稳定点即可得到所证不等式.

例3：设x，y，z为正数，且满足x+y+z=6，求证：xy+yz+zx≤12.

证明：设F（x，y，z，λ）=xy+yz+zx+λ（x+y+z-6）

并令■=y+z+λ=0■=x+z+λ=0 ■=x+y+λ=0■=x+y+z-6=0

解之得唯一解x=y=z=2，λ=-4

因为F（x，y，z，λ）有最大值F（2，2，2，-4）=12

所以?坌x，y，z∈R+，F（x，y，z）=xy+yz=zx≤12

当我们构造好函数F（x）后，求出在指定区间上的最大值M最小值m，则有m≤F（x）≤M.

4 利用积分的性质

命题4：（柯西—施瓦茨不等式）设f（x），g（x）在[a，b]上均连续，则[■f（x）g（x）dx]2≤■f2（x）dx■g2（x）dx

例4：设f（x）在[0，1]上连续，试证■e■dx■e■dx＞1

证明：因为f（x）在[0，1]上连续，

所以e■，e■在[0，1]上连续，且恒为正

于是（■■■dx）2＜■e■dx■e■dx

即（■dx）2≤■e■dx■e■dx

所以■e■dx■e■dx≥1.

参考文献：

[1]蔡兴光,郑列.高等数学应用与提高[M].北京:北京科学出版社,2002.

[2]何卫力.高等数学方法引导[M].北京:清华大学出版社,2004.