一个不等式在高考数学中的应用所引发的思考

随着新课程改革的不断深入，高效教学已经成为所有学科教师研究的重要话题.作为高三的数学教师，认真研究高考题型，找出解决问题的捷径与方法，使得学生在最短的时间内，找到解决问题的方法，提高解题效率，为解决其他题目节省更多的时间.而最近，笔者通过研究最近几年的高考数学模拟试卷，对模拟试卷中的几道填空题作了专项调查与研究.研究发现多数同学试卷中的答案都是空白的，或是不会做，又或直接放弃，偶尔有几个同学写了答案，但答案也是错误的（也有与答案相近的，他们中大部分解题思路都是正确的，但由于各种原因最终的答案还是错误的），而作为高中毕业班的数学教师感觉非常遗憾，难道填空题压轴题真的那么难吗？那么不可攻破吗？其实，对于这几份试卷上的压轴题，如果同学们真的静下心来，思考分析，还是会有一个通用的更快更好的解决方法.本文将为一线数学教师和即将进入“战场”的学生介绍一种新的解题思路，以进一步提高解题效率.

数学来源于生活、来源于现实，又回归现实、回归生活，因此具有明显的现实意义.正如均值不等式就经常在实际生活中应用，而且苏教版中的均值不等式内容又是高考C级要求，重要性可想而知.我们都知道柯西不等式与均值不等式有着千丝万缕的联系，在现实生活中也有属于它的数学情境，在数学与物理学科整合方面，尤其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，只是它在苏教版高中数学教学模块中，作为选讲内容没有让学生作进一步的研究.但是笔者认为：学习柯西不等式不仅可以提高学生本身的数学探究能力，可以进一步开阔学生的数学视野和空间思维能力，从而激发学生的学习兴趣，调动学习的积极性，培养创造性思维，更有利于提高学生的科学素养.尤其在高考数学求函数最值等方面，学生如果能够灵活运用它，能使一些较为困难的问题迎刃而解，是一个非常重要的不等式.

柯西不等式： （a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

（a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立）

高考模拟题再现：

例1已知等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2，则三角形ABC周长的最大值为.

解析首先建立函数模型，设等腰三角形半腰长为x，周长为y，则周长y=4x+8-2x2.问题转化为求函数y=4x+8-2x2的最大值.

解y2=（4x+8-2x2）2

=（22・2x+1・8-2x2）2

≤[（22）2+12][（2x）2+（8-2x2）2]

=（8+1）（2x2+8-2x2）=8×9=72.

所以周长最大值为62.

当2x=22・8-2x2，即x=423时取“=”.

点评调查发现：这道题学生都是通过换元法或者是函数导数法来求最值，运用这种方法时计算量特别大，且容易在计算过程中出错，计算时间上耗时又增加，而且还不能保证一定的正确率.但是笔者通过适当的配凑，直接利用柯西不等式求最值，复杂问题简单化，加深对知识的理解与巩固，大大缩短解题的时间，很大程度上提高解题的正确率，可见正确运用柯西不等式的重要性.

例2已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），若存在非零实数t，使得f（t）+f（1t）=-2，则a2+4b2的最小值.

解析由条件可化得（t+1t）2+a（t+1t）+2b=0，

令x=t+1t（|x|>2），

上式可变形为x2+ax+2b=0 （|x|≥2）.

利用柯西不等式问题可转化为存在x（|x|≥2），使得a2+4b2≥x4x2+1成立，再次转化为求函数g（x）=x4x2+1 （|x|≥2）的最小值.

解由条件可化得（t+1t）2+a（t+1t）+2b=0，

令x=t+1t （|x|≥2），

上式可变形为x2+ax+2b=0 （|x|≥2），

即（x・a+1・2b）2=（-x2）2=x4（|x|≥2），

即x4≤（x2+1）（a2+4b2）（|x|≥2），

即存在x（|x|≥2），使得a2+4b2≥x4x2+1成立.

设g（x）=x4x2+1=（x2+1）2-2（x2+1）+1x2+1

=（x2+1）+1x2+1-2 （|x|≥2）≥5+15-2=165.

变式a，b∈R，a≠0，曲线y=a+2x，y=ax+2b+1，若两曲线在[3，4]上至少有一个公共点，则a2+b2的最小值.

解析问题转化为方程ax2+（2b+1）x-（a+2）=0在[3，4]上有解，变换主元变形为（x2-1）a+2xb+x-2=0，

即2-x=（x2-1）a+2xb.

由柯西不等式得（2-x）2≤[（x2-1）2+4x2]（a2+b2），

所以问题又转化为熟悉的问题：存在x∈[3，4]，使得a2+b2≥（2-x）2（x2+1）2成立，进而又转化为函数最值问题.

点评这两道题几乎没有正确的，很多学生一时间很难找到解题的突破口，命题者初衷可能想利用最常规的方法来处理，但是计算量太大，学生在规定的时间根本无法完成，但是如果学生能够利用柯西不等式来求解，问题就容易多了.所以，教师应该在课堂上讲解这类解题的方法，通过多思、多学、多练来提高学生的解题能力.

综上所述，在教育改革的今天，每位高三数学教师都应该努力使自己成为学者型教师，积极开发教学课程资源，运用于课堂教学实践，提高课堂教学效率.著名特级教师孙双全说：“教师拥有研究机会，如果他们抓住这个机会，不仅能有力地和迅速地推进教学的技术，而且将使教师工作获得生命力与尊严.”因此，教师不仅处于最佳的研究位置，而且还拥有最佳的研究机会，只有将研究性学习行为日常化，教师的科研水平才能不断提高，才能向专业化发展.柯西不等式，作为新课程的选修内容，在数学的多个领域（函数、代数、方程、几何等）都有着广泛的运用.因此，作为高三毕业班的数学教师，要在高中数学教学过程中不断探究，启发学生，让学生在学习过程中找出发现问题和解决的方法，提高学生的数学探究能力.