例说解题教学中数学模式的应用

江苏江浦高级中学 211800

摘要：我们在平时的解题教学中，经常会遇到学生拿到题目后下笔很慢的现象. 究其原因，主要是对一些主要的解题模式的特点及适合范围没有把握好. 针对上述情况，本文力图在解题教学的过程中，从合理构造模式、灵活应用模式和善于扩充模式三个方面来探讨数学模式在解题教学过程中的应用.

关键词：解题教学；数学模式

我们知道，把现实原型抽象，可以成为数学模型，而把数学模型再抽象，便成为了数学模式. 事实上，所有的概念、公式、定理、法则等等都可看作是数学模式. 因此，从某种意义上来说，对数学的研究，实质上就是对这些模式的研究. 下面，就数学模式在解题教学中的应用进行一些探讨.

[⇩]合理构造模式，铺设解题桥梁

教学的首要任务是把实际问题抽象成数学问题. 如何抽象也就是如何构造模式，其关键在于构造的合理性.

例1 如图1，若l表示海岸，有一军舰要尽快地从位置P航行到位置Q，并且途中还要在l的某处R取军火，试确定建造军火库的最佳位置R.

[l][R′][P′][R][P][Q]

图1

不难知道，此题可抽象成最短线路的数学模型问题. 设P，Q是直线l同侧的两定点，那么就成为在l上求一点R，使得PR+RQ最短.

解析 可按下面两步骤进行操作：

（1）作出点P关于l的对称点P′；（2）连结P′Q交l于R，则R为所求. 证明略.

点评 这里，我们还可推出，R是使PR及QR与l交成等角的点. 此推论又形成一个有用的模式.

上例说明，对于某些实际问题，可以通过构造合理的模式作为桥梁来解决. 显然，对于同类型的问题，可采用同样的模式；对于某些纯数学题，也同样可以构造相应的模型.

[⇩]灵活运用模式，寻找解题钥匙

数学问题提出后就是寻求解答了，如何寻求解答？能否找到一个万能的方法？其实，万能方法是不存在的，但是我们可以将形形的问题归纳分类，使问题规范化、模式化. 一般来说，模式积累越多，把数学问题转化为模式也越容易，于是解题钥匙也越多. 一般地，这类模式通过模仿是不难掌握的，但重要的是在运用模式时要思路开阔，注意灵活多样.

1. 运用成型的数学模式

某些成型的模式可作出多种形式的变换，且适合一式多用，例如集合论中的文氏图.

例2 班里有36名学生，其中有10名优秀生（A），15名运动员（B），14名歌手（C），而且有4名既是优秀生又是运动员，有5名是运动员兼歌手，有2名既是优秀生又是歌手，有1名是优秀生而且是歌手和运动员. 问班里的学生中，有多少名既不是优秀生，又不是运动员，也不是歌手？

解析这类问题，只须把落入各区域的元素的数目填入文氏图（如图2）即可，利用此图，还能回答一系列其他问题，例如有多少学生仅仅是优秀生；有多少学生是优秀生或者运动员（是优秀生、运动员或者两者都是）；有多少学生只是优秀生、运动员两者之一；此题的解法及答案略.

[U][A][B][C]

图2

点评用文氏图还可以观察出著名的狄摩根定理：CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）＝（CUA）∩（CUB），这也是一个重要的模式.

2. 运用笛卡尔模式

笛卡尔曾提出过一种解决一般问题的模式：“把任何问题化为数学问题；把任何数学问题化为代数问题；把任何代数问题化为方程进行求解.”我们称它为笛卡尔模式，并常常利用此模式解决参数的变化范围、复变量的活动区域、几何作图、待定系数、部分分式、曲线方程等大量数学问题.

例3 如图3，圆中三条弦两两相交，若PA=QE=RD，PC=QB=RF. 求证：PQR为等边三角形.

[C][A][P][F][E][Q][B][R][D]

图3

证明 此题若用推理证明，则比较困难；若转化为代数问题来解决，则非常简便.

设PQ=x，PR=y，QR=z，不妨设PA=a，PC=b. 由相交弦定理得

（b＋x）・a＝（a＋y）・b，

（b＋z）・a＝（a＋x）・b，

（b＋y）・a＝（a＋z）・b， 即ax=by，

az=bx，

ay=bz，

所以（x＋y＋z）・a＝（x＋y＋z）・b，又因为x+y+z≠0，所以a=b，从而x=y=z. 故PQR为等边三角形.

点评 从本例可见，运用笛卡尔模式的关键是如何巧妙地列出方程.

例4 已知f（－tanx）+2f（tanx）=sin2x，且x∈－

，，试问当x为何值时，f（x）取得最大值；当x为何值时，f（x）取得最小值.

解析 此题为一函数方程，解答的关键在于如何构造一个新的方程模式，即再构造一个关于“f”的方程，使它与题目所给方程联立后得一方程组，从而来确定“f”.

因为tanx，sin2x都是奇函数 ，当x∈－

，时，自变量x的位置具有互反性. 由此，可构造一个新方程：f［－tan（－x）］+2f［tan（－x）］=sin（－2x），它与原方程联立得f（－tanx）+2f［－tan（－x）］=-sin2（－x），

2f（－tanx）＋f（tanx）=－sin2x，

即f（－tanx）+2f（tanx）=sin2x，

2f（－tanx）＋f（tanx）=－sin2x，

解得，f（tanx）=sin2x=, x∈－

，，所以f（x）=.

故易求得当x=1时，f（x）max=1；当x=－1时，f（x）min=－1.

[⇩]善于类比和联想，巧用熟悉的模式

当然，笛卡尔模式也不是万能的，有些问题需要从多方位思考，从类比一些熟悉的模式中获得解决.

例5 在1到100这100个自然数中，找出10个自然数，使它们的倒数之和为1.

解析 本题涉及的是10个自然数的倒数之和，它是否与数列求和有关呢？于是联想到了“拆项求和”的模式：

=++…+

=1－.

对于上式，令n=9，稍加变形，即++…++=1，则2，6，12，20，30，

42，56，72，90，10即为所求的10个数.

[⇩]善于扩充模式，举一反三

一个理想的数学模式不仅在于它能准确地刻画实体对象，而且还能由它进一步延伸出诸多新的模式.

例6 求和：12+22+…+n2.

解析 因为（n+1）3－n3=3n2+3n+1，所以有：

23－13=3×12+3×1+1，

33－23=3×22+3×2+1，

…

（n+1）3－n3=3n2+3n+1.

把上式相加，得（n+1）3－1=3（12+22+…+n2）+3（1+2+…+n）+n，

解得，12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）.

点评 在此问题中，我们借助（n+1）3的展开式求出了自然数的二阶方幂和S2. 将这种模式扩充，可知要求自然数的三阶方幂和S3，只需将（n+1）4展开. 以此类推，利用这种模式可求得这类数列的前n项和. 如果已经定了S0，S1，…，Sk-1，则Sk由下式确定：Sk=・［（n+1）k+1－1－C・Sk-1－C・Sk-2－…－S0］（证明这里从略）. 由这个表达式，运用每次都返回或递归大批前面项的方法，就能逐个地、递归地求出各项，这就是重要的递归模式.

由此可见，遇到问题时首先应通过观察并联想有无现成模式，能否转化和运用熟悉的模式；其次，如果模式不全，则思考如何通过构造辅助模式来补全. 通常构造的辅助模式可以是数、式、方程、函数、图形、算法程序等. 具体如何构造，构造哪一种，并没有一个固定格式可依，只能针对问题的结构特点，多进行类比、联想. 灵活地迁移知识，改变分析角度，才能获得合理的模式. 在运用数学模式去解决问题时，还要先理解模式，弄清模式的功能和限度，这就需要分析模式. 有了分析模式的能力，就会转移成运用模式的能力.

当然，构造模式解题的方法也有局限性.如果教师片面强调解题的程式化、模式化，学生片面地、机械地模仿，那将会导致学生在解题时思想僵化. 因此，教师还应鼓励学生不限于模仿，而要坚持独立思考，勇于探索.

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