Logistic满映射混沌序列性能分析

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摘 要:通过建立logistic满映射混沌模型,产生Logistic满映射混沌模拟序列,再进行二值量化后,利用Matlab 7.0对其性能进行仿真分析。主要分析其初值敏感性、相关性、平衡性、遍历性、相空间及倍周期分岔特性。分析结果表明,Logistic满映射混沌序列具有良好的自相关性、互相关性、平衡性,而且其序列数量众多,其性能优于传统的伪随机序列。该序列可广泛用于数字加密、扩频通信等领域中。

关键词:混沌序列;相关性;平衡性;相空间;Matlab仿真

中图分类号:TN914 文献标识码:A

文章编号:1004-373X(2010)03-194-03

Performance Analysis of Full Mapping Chaotic Sequence about Logistic

YAN Sanguo,CHEN Yongbin

(Chengdu Electromechanical College,Chengdu,610031,China)

Abstract:To produce Logistic full mapping chaos analog sequence,a Logistic full mapping chaos model is built,and then it is guantified two level digital sequence. The performance analysis of this chaotic sequence is carried out by use of Matlab 7.0 simulation. Senstivity of initial value,correlation,balance,ergodic,phase dimensional and double-periods forks characteristic are mainly analyzed. The analysis results show that the performance of this chaotic sequence is better than that of traditional pseudo random sequences for more well correlative performance and balance performance,and their number is large. It can be widely used in digital encryption and spread spectrum communcation.

Keywords:chaotic sequence;correlation;balance;phase dimensional;Matlab simulation

混沌现象是在非线性动态系统中出现的确定性、类似随机的过程,这种过程非周期、不收敛但有界,并且对初始值具有及其敏感的依赖性[1]。通过混沌方法产生的序列,其数量众多,广泛地用于数字加密[2]和数字通信领域中。然而混沌扩频序列、混沌跳频序列也取得了很好的研究成果[3,4]。常见的混沌序列有Logistic序列、Tent序列和Chebyshev序列等。本文主要对参考文献[5]所定义的Logistic序列,通过其映射方程,利用Matlab 7.0计算仿真,对其相关性、平衡性、遍历性、相空间及倍周期分岔等特性进行分析,得出Logistic序列的基本性质。

1Logistic混沌序列

Logistic映射是最基本的映射方法,其定义如下:

Xn + 1 = f(μ,Xn) = μXn(1-Xn),

(1)

式中:μ称为分形参数,当3.569 945 6

Xn + 1 = f(μ,Xn) = 1-μX2n,-1≤Xn≤1,0

(2)

Xn + 1 = f(μ,Xn) = 1-2X2[3]n,-1≤Xn≤1,n=0,1,2,…

(3)

2 性能仿真分析

主要针对Logistic映射(2)和Logistic满映射(3)所产生的混沌序列,利用Matlab 7.0对其进行性能分析仿真。设置相应的初始值,通过迭代运算生产混沌模拟序列,按照参考文献[1]的方法对模拟序列进行量化,产生[-1,+1]的二值数字Logistic混沌序列。对其初值敏感性、相关性、平衡性、遍历性、相空间及倍周期分岔特性进行分析。通过仿真分析, Logistic混沌序列的许多性能优于传统的伪随机序列。

2.1 初值敏感性

混沌序列的最重要特征是对初值变化的敏感依赖性,初始值有非常细微的变化,通过一定次数的迭代运算后,会产生两个完全不相同的序列。利用这一特性,通过设置初始值,可以生成许多不相关的序列,增加了序列的数量。

对满映射式(3)分别取初始值X0为0.600 001和0600 002进行100次迭代运算后的结果如图1所示。横轴表示迭代的次数,纵轴表示序列的取值,图中虚线表示初值为0.600 001的迭代轨迹,实线表示初值为0600 002的迭代轨迹。两者的初始值仅相差1×10-6,但是通过100次迭代后,两个序列有很大的差别,这说明混沌序列对初值非常敏感。通过预置初值,可以产生不同的混沌序列,其序列数量相当可观,是m序列、Gold序列等伪随机序列不可比的。

图1 初值敏感特性

2.2 相关性

序列的相关性分为自相关性和互相关性。序列相关性的好坏,直接影响序列的适应性能。设x(k)和y(k)是二元域[-1,+1]上长度为p的两个序列,则序列的自相关函数和互相关函数定义如下[7]:

Rx(j)=1p∑pi=1xixi+j

(4)

Rxy(j)=1p∑pi=1xiyi+j

(5)

式中:j是相关间隔。为了分析Logistic满映射序列的相关性,首先对式(3)预设初始值,将迭代运算产生的模拟序列进行量化,量化时采用最简单的二值量化序列方法[3],形成二值量化序列。二值量化是将模拟序列元素xk进行二值量化,其方法是,假设模拟序列的均值为,则二值量化序列可表示为{y(k),k=0,1,2,…},其中[1]:

y(k)=-1, xk

1,xk≥

(6)

式中:也就是二值量化序列的判决门限。因为Logistic满映射Xn + 1 = 1-2X2n的概率密度函数为[5]:

ρ(x)=1π1-x2,-1≤x≤1

(7)

所以其模拟混沌序列均值为:

=∫1-1xρ(x)dx =0

(8)

即Logistic满映射产生的模拟混沌序列均值=0。利用上述办法,对式(3)预设的两个初值0600 001和0600 002Х直鸩生两个模拟序列xk和yk。根据式(6)分别对其进行量化,形成两个二值序列混沌序列x(k)和y(k),取序列的长度为1 000。然后根据式(4)和┦(5)分别计算其自相关和互相关函数值。通过仿真计算,序列x(k)的自相关函数值如图2所示,序列x(k)和y(k)的互相关函数值如图3所示。

图2 Logistic满映射的自相关函数值

图3 Logistic满映射的互相关函数值

从图2中可以看出,初始值仅相差1×10-6的两个满映射Logistic序列的自相关峰非常尖锐,仅在j=0时,有一个主瓣为1,而其旁瓣很小,接近于零。自相关函数类似δ函数,具有白噪声性能,其混沌序列的自相关性很强。

从图3可知,两混沌序列互相关值非常小,几乎接近于零。因此,通过预设不同的初始值,可以产生数量庞大的混沌序列,广泛用于各种多址通信中,作为地址码使用。其相关性优于传统的伪随机序列。

2.3 平衡性

在扩频通信中,对系统质量的影响之一就是码的平衡性,平衡码具有更好的频谱特性。在DS序列中,码的平衡性对载波抑制度有密切的关系[7]。因此,码的平衡性直接关系到扩频通信系统的性能。所谓平衡序列指序列中“1”码元数量与“-1”码元数量相当,不能过多,也不能过少[8],数量越接近越好。而由式(2)产生的混沌序列的平衡性会随着分形参数μ的变化而变化,当┆μ=2时,即满映射时,混沌序列的性能最好。为此,对┦(3)预设初始值为0.600 001进行迭代运算,通过选不同的序列长度,计算它的平衡性,其结果如表1所示。

表1 Logistic满映射平衡性表

序列长度N1的数量比率 /%-1的数量比率 /%

51125449.7125750.29

1 02350549.3651850.64

2 0471 03350.461 01449.54

4 0952 05550.182 04049.82

从表1可以看出,Logistic满映射产生的混沌序列具有很好的平衡性能,在序列中“1”的数量和“-1”的数量相当,几乎各占50%,是很好的平衡码序列。然而初始值X0的取值对平衡性也有一定的影响,因此对Logistic满映射应剔除X0=0.5的情况[9],此时,其序列平衡性最差。

2.4 遍历性及相空间

遍历性也称各态历经性,混沌的重要特性之一就是遍历性。从理论上讲,УXn经过n次迭代运算后(n值足够大时),其迭代运算取值能遍历[-1,+1]上所有的值。取初值X0=0.600 001,对式(3)进行1 000次迭代所产生的混沌轨迹如图4所示。图中的“+”表示迭代次数n对应的Xn的取值。同时以X0,X1,…,Xn为横坐标,以各值对应的下一值为纵坐标,通过仿真计算后,绘出Xn与Xn+1的相空间图如图5所示。

图4 迭代次数n与Xn的关系图

图5 相空间

从图4中可以看出,当迭代次数足够大时,模拟混沌序列的取值Xn几乎遍历了[-1,+1]的区间。从┩5可以看出,Logistic满映射的相空间结构是一种简单的单峰结构,又称之为单峰映射。

2.5 倍周期分岔特性

混沌是过程的科学、演化的科学,由倍周期分岔通往混沌是实现混沌最典型的方法[10]。当μ的取值范围是(0,2]时,Logistic映射是从区间[-1,+1]到其本身的非线性映射。因此,μ以0.005的步长,在(0,2]区间逐步增加时,Ф悦恳桓龉潭ǖ摩讨,取一个初始值X0=0.600 001,通过对式(2)进行1 000次迭代运算,每当给定一个μ值后,取其最后300次的Xn值进行绘图,其结果如图6所示。此图称为分岔图,图中,横坐标表示μ的取值范围,纵坐标表示Xn的取值范围。

图6 分岔图

从图6中可看出,0

3 结 语

通过对Logistic满映射迭代产生的模拟混沌序列进行二值量化,对量化后的数字混沌序列进行分析。从以上分析可以得到, Logistic满映射混沌序列具有良好的自相关性、互相关性和平衡性,对初值有高度的敏感性,是一种很好的伪随机序列,其性能优于传统的伪随机序列,可以广泛地用于数字加密、数字通信和扩频通信中。通过对Logistic序列倍周期分岔特性的分析,指明了Logistic序列进入混沌的道路。

参考文献

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