解析几何中的一类中点问题巧解

解析几何中的直线与曲线的关系一直是超级热点,而中点及其相关问题更是经久不衰.这里将对中点弦的存在域给出直观图示,并导出神奇快捷的中点弦方程、弦中点轨迹方程等公式,使解题事半功倍.

记F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F,F(x0,y0)=Ax20+Bx0y0+Cy20+Dx0+Ey0+F,F*(x,y)=Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx+x02+Ey+y02+F,

C表示曲线F(x,y)=0.

一、中点弦存在域

中点弦是指C中过点M(x0,y0)的弦中,以M为中点的弦.当点M在椭圆或抛物线的内部(不含边界)时,过点M的中点弦一定存在.若M不是椭圆中心,该中点弦只有一条,否则有无数条.抛物线内的中点弦只有一条.当点M不在双曲线与渐近线所夹的区域(含边界)时,以M为中点的弦一定存在.若M不是双曲线中心,则该中点弦只有一条,否则有无数条.相应的存在域如下图阴影部分所示.

图1_____图2

图3

二、中点弦所在直线方程公式

若曲线C:F(x,y)=0存在以M(x0,y0)(非曲线中心)为中点的弦L,则L所在的直线方程是F*(x,y)=F(x0,y0).(1)

证明:设L与C交于A、B两点,易知C关于点M对称的曲线C′的方程为F(2x0-x,2y0-y)=0.

A、B两点均在C与C′上,也在直线L:F(x,y)-F(2x0-x,2y0-y)=0上,

整理得(Ax0+B•y02+D2)x+(y0+B•x02+E2)y+F=F(x0,y0).(2)

由平移变换知,

满足Ax0+B•y02+D2=0,Cy0+B•x02+E2=0的点(x0,y0)恰好是C的中心点.

而M非C的中心,故(2)式中x,y的系数不全为0,因此(2)表示一条直线,此即C中过M点的中点弦所在直线.

三、弦中点轨迹方程公式

过定点P(x0,y0)作C的许多弦,所有这些弦的中点轨迹方程为

C*:F(x,y)=F*(x,y).(3)

证明:设C中过P的任一弦为AB,AB的中点为M(x,y),则AB所在的直线相当于C中过点M的中点弦,其方程为L:Ax1x+Bx1y+y1x2+Cy1y+Dx1+x2+Ey1+y2+F=Ax21+Bx1y1+Cy21+Dx1+Ey1+F,

而L必过定点P(x0,y0),将x=x0,y=y0代入上式得Ax21+Bx1y1+Cy21+Dx1+Ey1+F=Ax0x1+Bx1y0+x0y12+Cy0y1+Dx1+x02+Ey1+y02+F.

由点M(x1,y1)的任意性,将(x1,y1)换成(x,y),即得弦中点轨迹方程为:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=Ax0x+Bx0y+xy02+Cy0y+Dx+x02+Ey+y02+F,即为(3)式.

不难看出,上述弦中点的轨迹是C*在C内的那部分曲线(一般是弧线).

四、切线及切点弦所在直线方程公式

设C与直线L交于A、B两点,M(x0,y0)为AB的中点,由切线定义知,当A、B两点无限接近时,L变成了C的切线,M点即成了切点.

由中点弦公式得C上在点M(x0,y0)的切线方程为

F*(x,y)=0,

即Ax0x+B•x0y+xy02+Cy0y+Dx+x02+Ey+y02+F=0.(4)

若过定点P(x0,y0)能作圆锥曲线C的两条切线PA、PB,A、B为切点,则连结两切点的弦AB所在的直线方程也是

F*(x,y)=0.(5)

证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由切线方程(4)知:PA所在的直线方程为Ax1x+Bx1y+xy12+Cy1y+D•x1+x2+Ey1+y2+F=0,

PB所在的直线方程为Ax2x+B•x2y+xy22+Cy2y+D•x2+x2+E•y+y22+F=0.

这相当于(5)式代表的直线过A、B两点,根据两点确定一条直线知,A、B所在的直线方程为(5)式.

不难看出切线(或切点弦)方程相当于将F(x,y)=0中的x2、xy、y2、x、y分别用x0x、x0y+xy02、y0y、x+x02、y+y02替换,常数F不变,而中点弦与切线(或切点弦)方程只相差一个常数F(x0,y0),为便于记忆,可如下表示:

F*(x,y)=0…切线或切点弦;F(x0,y0)…中点弦所在直线;F(x,y)…弦中点轨迹.

值得注意的是,在使用上述公式时,必须把原曲线方程右边的所有项先移到左边.

五、应用举例

【例1】 给定双曲线2x2-y2=2,过B(1,1)能否作直线m,使m与双曲线交于Q1、Q2两点,且B是Q1、Q2的中点.

解法一:因点B在原双曲线与其渐近线y±2x=0所夹的区域内,根据中点弦存在域知,直线m不存在.

解法二:假设直线m存在,根据中点弦方程公式知,m应为2x0x-y0y-2=2x20-y20-2,这里(x0,y0)=(1,1),代入得

2x•1-y•1-2=2×12-12-2,

即y=2x+1.(6)

将(6)代入原双曲线方程得2x2+4x+3=0,其判别式Δ=42-4×2×3=-8

因此这样的直线m不存在.

【例2】 设A、B是双曲线x2-y22=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,求直线AB的方程.

解:因点N不在原双曲线与其渐近线y=±2x所夹的区域内,由中点弦存在域知,直线AB是存在的.根据中点弦所在直线方程公式得直线AB的方程为

x0x-y0y2-1=x20-y202-1.

将(x0,y0)=(1,2)代入上式得1•x-2y2-1=12-222-1,即y=x+1.

【例3】 已知椭圆C的直角坐标方程x24+y23=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.

解:记l:y=4x+m,C上点A、B关于l对称,M(x0,y0)为AB的中点,根据中点弦方程公式得AB所在的直线方程为:

x0x4+y0y3-1=x204+y203-1,

其斜率k=-3x04y0.

由ABl得-3x04y0•4=-1,(7)

又4x0-y0+m=0,(8)

联立(7)、(8)解得x0=-m,y0=-3m.

点M在C内,

x204+y203

即m24+3m2

解得m的取值范围是-21313

【例4】 过原点引圆(x-3)2+y2=1的割线,求所截得的弦的中点轨迹方程.

解:圆的方程可变形为x2-6x+y2+8=0.

根据弦中点轨迹方程得所截得的弦的中点轨迹方程是

x0x-6 •x+x02+y0y+8=x2-6x+y2+8,

将x0=0,y0=0代入得x2-3x+y2=0即为所求.

【例5】 已知直线L1:x-3y+10=0,L2:2x+y-8=0,过M(0,1)作直线L分别交L1、L2于P1、P2两点,使点M是P1P2的中点,求直线L的方程.

解:若两条直线L1、L2相应的曲线C为(x-3y+10)(2x+y-8)=0,

即2x2-5xy-3y2+12x+34y-80=0.

根据中点弦方程公式得

2x0x-5•x0y+xy02-3y0y+12•x+x02+34•y+y02-80=2x20-5x0y0-3y20+12x0+34y0-80,

将x0=0,y0=1代入整理得L的方程为x+4y-4=0.

【例6】 过点P(4,3)作直线与两坐标轴正向分别交于A、B两点,若|PA|=|PB|,求AB所在的直线方程L.

解:两坐标轴相应的曲线C为xy=0.

根据中点弦方程公式得L:x0y+xy02=x0y0,

将x0=3,y0=4代入整理得L:3x+4y-24=0.

六、巩固练习:

1.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M、N两点,弦MN的中点为P,若斜率KOP=22(O为坐标原点),则m/n的值是().

A.1B.2C.22D.2

2.经过抛物线y2=4x的焦点的弦的中点的轨迹方程是().

A.y2=x-1B.y2=2(x-1)

C.y2=x-12D.y2=2x-1

3.已知点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)内且不在x轴上的一点,则过点P且被P平分的弦的斜率为 .

4.由点P(3,4)作圆x2+y2=1的两条切线PP1、PP2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 .

5.求与椭圆x29+y24=1相交于A、B两点,且点M(1,1)恰为弦AB的中点的直线方程.

图4

6.已知直线L和双曲线x2a2-y2b2=1及其渐近线依次相交于A、B、C、D四点,如图4所示,求证:|AB|=|CD|.

7.已知在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求实数k的取值范围.

8.已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线y2=2px上,

图5

ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图5).

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;

(2)求线段BC中点M的坐标;

(3)求BC所在直线的方程.

9.定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.

10.设直线l过抛物线y2=2px(p≠0)的焦点,并且与这抛物线交于两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.

参考答案或提示:

1.C;

2.B;

3.-b2x0a2y0;

4.3x+4y-1=0;

5.4x+9y-13=0;

6.证明BC的中点也是AD的中点;

7.-1

8.(1)y2=32x;(2)M(11,-4);(3)4x+y-40=0;

9.54;M(54,±22);