对一道命题的否定的进一步思考

【摘要】 “若p则q”型命题的否定与否命题是两个完全不同的概念，即使有的学生能够区分开来，也很难正确地写出命题的否定，本文通过一道具体的实例的错解剖析来谈谈这类命题如何否定

【关键词】 命题；否定；否命题

在对高中数学简易逻辑的命题的教学中，我发现有好多学生对这种“若p则q”型命题的否定与否命题两个概念分不清楚，即使有的学生能够区分开来，却又很难正确地写出命题的否定，下面通过对一道具体的实例的错解剖析来谈谈这类命题如何否定.

例 已知命题P：“若a>b，则a2>b2”，请写出该命题的否定.

错解一 此命题为“若p则q”型，故其否定为“若 p，则 q”；因而该命题的否定为 p：“若a≤b，则a2≤b2”.

剖析 误把命题的否命题当成是命题的否定，其实命题的“否命题”与“命题的否定” 是两个不同的概念，首先，它们研究的对象范围不相同，否命题仅针对假言命题（即若p则q）而言的，否命题是对一个假言命题的条件和结论都加以否定所得到的新命题（即若 p，则 q ）.而对任意一个命题它的否定都是存在的.其次，从命题的真假来看，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者必有一真一假，而假言命题的否命题则不然，与原命题的真值可能相同也可能相反.

错解二 此命题为“若p则q”型，而命题的否定只是否定结论，故其否定为“若p则 q”.因而该命题的否定为 p：“若a>b，则a2≤b2”.

剖析：那样简单地认为就是“若p则 q”，那是对数理逻辑学不知晓的缘故.如果套用这种否定法写命题p ：“若x>3，则x>4”的否定：若“x>3，则x≤4”，这样p和 p都变成假命题了！显然是错误的.

错解三 此命题为“若p则q”型，属于假言命题，它的否定是“p∧（ q），”因而该命题的否定为 p：“a>b且a2≤b2”.

剖析：是对数理逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑不能正确区分，将讨论命题逻辑的方法机械地搬到了谓词逻辑中，一概认为“若p则q”型的命题就属于假言命题，否定是p∧（ q），那又太教条了.

其实“若p则q”的否定是个较为复杂的问题，在数理逻辑学中，对于 命题逻辑 和 谓词逻辑 讨论的对象是不同的.

从命题逻辑的角度来谈“若p则q”的否定.在命题“若p则q”中，如果p、q本身是命题，则叫做假言命题，属于命题逻辑讨论的对象，记作“pq”，它的否定是p∧（ q）即“若p则q”的否定是“p∧（ q）”，它是针对假言命题而论的.

从谓词逻辑的角度来谈“若p则q”的否定.在“若p则q”中，如果p、q是开语句，则属于谓词逻辑讨论的范畴.如命题“若a>b，则a2>b2”中的“a>b”和“a2>b2”，这里“条件”和“结论”都不是命题，而是开语句，中学阶段所遇到的“若p则q”大多属于这一类.从谓词逻辑的角度来看，“若a>b，则a2>b2”是省略了量词的全称型命题，实际意义为“对一切a>b都有a2>b2”，它的否定应该是特称否定命题：“存在a>b且a2≤b2”.

综上所述，当p、q是命题时，“若p则q”的否定是“p且 q”；当p、q是开语句时，对于省略全称量词的命题“若p则q”而言，它的否定是“存在p，且 q”；对于命题逻辑中的简单命题，直接用否定词进行否定.