例谈高中数学探究性素材的挖掘

谢旭初 2019-09-02 版权声明 举报文章

目前,新课程改革正在不断的进行和深入。新课程改革能否取得理想的效果,关键还是在于我们的课堂教学能否真正落实新课改的精神,把课堂真正还给学生,让学生在教师的主导之下,充分体验知识的发生、发展的过程,体验自主获得知识的快乐,掌握学习知识、研究问题的方法和技能,同时在交流能力、合作精神等方面获得充分的发展。开展探究性教学是实现上述新课程目标的有效手段和方式,而成功开展探究性教学的关键是有好的探究性问题。本文就如何挖掘高中数学探究性素材、有效开展探究性教学做一些探讨。

一、挖掘概念教学中的探究性素材

在概念教学中,许多教师往往采用“一个定义,两项注意,三个例题”的教学方法。这样做极大地掩盖了知识的发生、发展的过程,让学生丧失了极佳的体验探究性学习的机会。事实上,概念是数学知识和数学教学的核心,许多数学概念的形成过程本身对学生来讲就是一个很好的探究过程。教师若能将数学概念的形成过程设计成探究性学习的过程,引导学生积极、主动地进行探究,对激发学生学习数学的兴趣和提高学生数学能力必定大有裨益。

案例1 椭圆定义的教学

让学生同桌两人一组,准备好两枚图钉、一张白纸、一条不可伸缩的细线、一支铅笔。向学生清楚说明操作的要点,待学生操作完毕,提出下列问题让学生探究:(1)能画出椭圆的条件有哪些?(2)在能画出椭圆的条件下,两图钉之间距离的改变,画出来的椭圆的形状有什么变化?(3)两图钉重合的时候画出来的是什么图形?说明该图形和椭圆之间有什么关系。

学生在这些探究性问题的指引下,展开了积极的探究。有再次动手探究的,有相互之间讨论、交流的。这种在教师指导下自己探究获得的数学概念,掌握起来必定是牢固的、到位的。

二、挖掘课本习题中的探究性素材

习题是训练学生思维、培养学生数学能力的极好载体。教师要达到完成教学任务的目标,势必要让学生做一些典型的习题和例题。若能对一些课本习题做适当的改编,便可成为很好的探究性教学素材。

案例2 (人教A版选修2-1第42页,练习第4题)点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?为什么?

问题的解答并不困难,但如果仅仅停留在解答出这一题目的层面上,未免丧失了培养学生探究能力的大好机会。因此,教师要引导学生探究,进行变式探究。

(1)若且直线AM斜率与直线BM的斜率的商不是2,而是其他正数,如3,4,1,M的轨迹有什么变化?是否可以得到一个一般性的结论?(2)若且直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2换成负数,如-2,-3,M的轨迹有什么变化?是否又可以有什么发现?(3)将两点A(-1,0),B(1,0)一般化,如换成A(-a,0),B(a,0)情况又如何?(4)将题中的斜率之商是2改成线段AM与BM的商是2,是否可以得到新的问题?(5)将直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2改成积是2,又如何?

上述这些问题的探究在教师适当的引导下,学生是可以做到的,只是比较费时,往往会影响教学任务的完成,使不少教师望而却步。其实,这样是浪费了一个培养学生数学素养和探究能力的极好机会。

三、挖掘高考题中的探究性素材

高考题源于课本,立足基础,考查能力,是开展探究性学习的极佳素材。

案例3 (2007年高考江西卷文科第8题)若0

A.sinx■ x

C.sinx■ x

解答本题方法较多,如图象法、特殊值法、导数法等,一般学生都能得到答案选B.但本题实质上反映的是函数f(x)=■在区间(0,■)上的取值范围问题,有必要对函数f(x)=■的性质作进一步的探究.启发学生研究函数的性质应该从哪几方面入手,有哪些研究方法和工具?在教师的适当引导下,学生通过合作探究可以获得函数f(x)=■的如下一些性质:

性质1 函数f(x)=■在区间(0,π]上单调递减.

性质2 函数f(x)=■在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数.

性质3 函数f(x)=■在区间(0,■]上为凸函数.

获得这些性质以后,教师可以挑选一些题目让学生应用这些性质解题,提高能力,如:

案例4 如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为“保三角形函数”.试证明函数f(x)=sinx,x∈(0,■)是保三角形函数.

证明:设a,b,c是某三角形的三边且■>a≥b≥c>0,则sina≥sinb≥sinc,故只要证明sinb+sinc>sina.

(1)若a=b=c,结论显然成立.

(2)若a,b,c不全相等,

则0sin(a-c)+sinc,

又sin(a-c)+sinc-sina

=(a-c)g(a-c)+cg(c)-ag(a)=(a-c)[g(a-c)-g(a)]+c[g(c)-g(a)],

由性质1知函数g(x)=■在区间(0,■)上单调递减,

g(a-c)-g(a)>0,g(c)-g(a)>0,(a-c)[g(a-c)-g(a)]+c[g(c)-g(a)]>0,

即sin(a-c)+sinc-sina>0,sin(a-c)+sinc>a,sinb+sinc>sina,

故函数f(x)=sinx,x∈(0,■)是保三角形函数.

由上面证明过程,可得如下命题:

命题1:设f(x)是R+上的可导函数,g(x)=■是R+上的减函数,则对任给的x1,x2∈R+,不等式f(x1+x2)

证明:g(x)是R+上的减函数,g(x1+x2)-g(x1)

命题2:设集合D=(0,m),f(x)是定义在D上的可导增函数,且f(x)恒为正,g(x)=■是D上的减函数,则f(x)是定义在D上的保三角形函数.

证明:设x1,x2,x3∈D,x1,x2,x3是某三角形三边,不妨设x1≥x2≥x3>0,则f(x1)≥f(x2)≥f(x3)>0,且x1

若x1=x2=x3,结论显然成立.若x1,x2,x3不全相等,则0f(x1-x3+x3)=f(x1),

又f(x1-x3)f(x1-x3)+f(x3)>f(x1)

f(x1),f(x2),f(x3)是某三角形三边,命题得证.

对于好的高考题,如果停留在仅仅让学生会做这些高考题的层面上,那就没能充分发挥高考题对高中数学解题教学的功能。教师应做有心人,挖掘高考题的教学价值。

四、挖掘学生作业中的探究性素材

学生习作中经常会出现许多错误,这些错误正好是教师进行教学设计的源泉。以学生的错误为契机展开探究式学习,引导学生自我发现、自我纠错,这种重新审视、发现错误的过程往往能使学生的理解趋于深入,印象更加深刻。

案例5 已知数列{an}是由非负整数组成的数列,且满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5…,求a3.

学生的解答是:将n=3代入得a4a3=10,由于数列的各项为非负整数,故a3=1或2或5或10.针对这一结果,引导学生自我纠错,并对这个数列的存在性进行了探究.

(1)探究错误原因。这些结果能保证前三项是非负整数,能否使“数列{an}是由非负整数组成的无穷数列”?

学生将n=4代入递推公式时发现a3=1,a4=10和a3=5,a4=2都使a5不是非负整数.将n=5代入,a3=10,a4=1又使得a6不是非负整数.至此只有a3=2,但对a3=2既不能排除也不能肯定,它会不会使第6项后面的某一项不是非负整数呢?

(2)探究一般规律。当a3=2时,前6项的值有什么规律性?请提出猜想,并给予验证.学生很快得到猜想,并通过递推公式进行了验证.至此,不仅肯定a3=2,而且得到了an的求法,因为这个数列的通项公式为an=n-1(n=2k-1)n+1(n=2k).

新课程理念强调要改变学生一味接受式的学习方式,要求教师能提供合适的探究性素材,引导学生开展探究性学习。有时候我们会因为没有探究性素材而困惑,其实探究性素材就在教学的各个环节中,就在我们的教学主题和教学媒介当中。

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