例谈高中数学探究性素材的挖掘

目前，新课程改革正在不断的进行和深入。新课程改革能否取得理想的效果，关键还是在于我们的课堂教学能否真正落实新课改的精神，把课堂真正还给学生，让学生在教师的主导之下，充分体验知识的发生、发展的过程，体验自主获得知识的快乐，掌握学习知识、研究问题的方法和技能，同时在交流能力、合作精神等方面获得充分的发展。开展探究性教学是实现上述新课程目标的有效手段和方式，而成功开展探究性教学的关键是有好的探究性问题。本文就如何挖掘高中数学探究性素材、有效开展探究性教学做一些探讨。

一、挖掘概念教学中的探究性素材

在概念教学中，许多教师往往采用“一个定义，两项注意，三个例题”的教学方法。这样做极大地掩盖了知识的发生、发展的过程，让学生丧失了极佳的体验探究性学习的机会。事实上，概念是数学知识和数学教学的核心，许多数学概念的形成过程本身对学生来讲就是一个很好的探究过程。教师若能将数学概念的形成过程设计成探究性学习的过程，引导学生积极、主动地进行探究，对激发学生学习数学的兴趣和提高学生数学能力必定大有裨益。

案例1 椭圆定义的教学

让学生同桌两人一组，准备好两枚图钉、一张白纸、一条不可伸缩的细线、一支铅笔。向学生清楚说明操作的要点，待学生操作完毕，提出下列问题让学生探究：（1）能画出椭圆的条件有哪些？（2）在能画出椭圆的条件下，两图钉之间距离的改变，画出来的椭圆的形状有什么变化？（3）两图钉重合的时候画出来的是什么图形？说明该图形和椭圆之间有什么关系。

学生在这些探究性问题的指引下，展开了积极的探究。有再次动手探究的，有相互之间讨论、交流的。这种在教师指导下自己探究获得的数学概念，掌握起来必定是牢固的、到位的。

二、挖掘课本习题中的探究性素材

习题是训练学生思维、培养学生数学能力的极好载体。教师要达到完成教学任务的目标，势必要让学生做一些典型的习题和例题。若能对一些课本习题做适当的改编，便可成为很好的探究性教学素材。

案例2 （人教A版选修2-1第42页，练习第4题）点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？

问题的解答并不困难，但如果仅仅停留在解答出这一题目的层面上，未免丧失了培养学生探究能力的大好机会。因此，教师要引导学生探究，进行变式探究。

（1）若且直线AM斜率与直线BM的斜率的商不是2，而是其他正数，如3，4，1，M的轨迹有什么变化？是否可以得到一个一般性的结论？（2）若且直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2换成负数，如-2，-3，M的轨迹有什么变化？是否又可以有什么发现？（3）将两点A（-1，0），B（1，0）一般化，如换成A（-a，0），B（a，0）情况又如何？（4）将题中的斜率之商是2改成线段AM与BM的商是2，是否可以得到新的问题？（5）将直线AM斜率与直线BM的斜率的商是2改成积是2，又如何？

上述这些问题的探究在教师适当的引导下，学生是可以做到的，只是比较费时，往往会影响教学任务的完成，使不少教师望而却步。其实，这样是浪费了一个培养学生数学素养和探究能力的极好机会。

三、挖掘高考题中的探究性素材

高考题源于课本，立足基础，考查能力，是开展探究性学习的极佳素材。

案例3 （2007年高考江西卷文科第8题）若0

A.sinx■ x

C.sinx■ x

解答本题方法较多，如图象法、特殊值法、导数法等，一般学生都能得到答案选B.但本题实质上反映的是函数f（x）=■在区间（0，■）上的取值范围问题，有必要对函数f（x）=■的性质作进一步的探究.启发学生研究函数的性质应该从哪几方面入手，有哪些研究方法和工具？在教师的适当引导下，学生通过合作探究可以获得函数f（x）=■的如下一些性质：

性质1 函数f（x）=■在区间（0，π]上单调递减.

性质2 函数f（x）=■在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数.

性质3 函数f（x）=■在区间（0，■]上为凸函数.

获得这些性质以后，教师可以挑选一些题目让学生应用这些性质解题，提高能力，如：

案例4 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.试证明函数f（x）=sinx，x∈（0，■）是保三角形函数.

证明：设a，b，c是某三角形的三边且■>a≥b≥c>0，则sina≥sinb≥sinc，故只要证明sinb+sinc>sina.

（1）若a=b=c，结论显然成立.

（2）若a，b，c不全相等，

则0sin（a-c）+sinc，

又sin（a-c）+sinc-sina

=（a-c）g（a-c）+cg（c）-ag（a）=（a-c）[g（a-c）-g（a）]+c[g（c）-g（a）]，

由性质1知函数g（x）=■在区间（0，■）上单调递减，

g（a-c）-g（a）>0，g（c）-g（a）>0，（a-c）[g（a-c）-g（a）]+c[g（c）-g（a）]>0，

即sin（a-c）+sinc-sina>0，sin（a-c）+sinc>a，sinb+sinc>sina，

故函数f（x）=sinx，x∈（0，■）是保三角形函数.

由上面证明过程，可得如下命题：

命题1：设f（x）是R+上的可导函数，g（x）=■是R+上的减函数，则对任给的x1，x2∈R+，不等式f（x1+x2）

证明：g（x）是R+上的减函数，g（x1+x2）-g（x1）

命题2：设集合D=（0，m），f（x）是定义在D上的可导增函数，且f（x）恒为正，g（x）=■是D上的减函数，则f（x）是定义在D上的保三角形函数.

证明：设x1，x2，x3∈D，x1，x2，x3是某三角形三边，不妨设x1≥x2≥x3>0，则f（x1）≥f（x2）≥f（x3）>0，且x1

若x1=x2=x3，结论显然成立.若x1，x2，x3不全相等，则0f（x1-x3+x3）=f（x1），

又f（x1-x3）f（x1-x3）+f（x3）>f（x1）

f（x1），f（x2），f（x3）是某三角形三边，命题得证.

对于好的高考题，如果停留在仅仅让学生会做这些高考题的层面上，那就没能充分发挥高考题对高中数学解题教学的功能。教师应做有心人，挖掘高考题的教学价值。

四、挖掘学生作业中的探究性素材

学生习作中经常会出现许多错误，这些错误正好是教师进行教学设计的源泉。以学生的错误为契机展开探究式学习，引导学生自我发现、自我纠错，这种重新审视、发现错误的过程往往能使学生的理解趋于深入，印象更加深刻。

案例5 已知数列{an}是由非负整数组成的数列，且满足a1=0，a2=3，an+1an=（an-1+2）（an-2+2），n=3，4，5…，求a3.

学生的解答是：将n=3代入得a4a3=10，由于数列的各项为非负整数，故a3=1或2或5或10.针对这一结果，引导学生自我纠错，并对这个数列的存在性进行了探究.

（1）探究错误原因。这些结果能保证前三项是非负整数，能否使“数列{an}是由非负整数组成的无穷数列”？

学生将n=4代入递推公式时发现a3=1，a4=10和a3=5，a4=2都使a5不是非负整数.将n=5代入，a3=10，a4=1又使得a6不是非负整数.至此只有a3=2，但对a3=2既不能排除也不能肯定，它会不会使第6项后面的某一项不是非负整数呢？

（2）探究一般规律。当a3=2时，前6项的值有什么规律性？请提出猜想，并给予验证.学生很快得到猜想，并通过递推公式进行了验证.至此，不仅肯定a3=2，而且得到了an的求法，因为这个数列的通项公式为an=n-1（n=2k-1）n+1（n=2k）.

新课程理念强调要改变学生一味接受式的学习方式，要求教师能提供合适的探究性素材，引导学生开展探究性学习。有时候我们会因为没有探究性素材而困惑，其实探究性素材就在教学的各个环节中，就在我们的教学主题和教学媒介当中。