时间：2022-09-01 03:03:20
【摘要】发现九九图中还有 8个3阶子幻方，由此引出构造高阶幻方的第Ⅱ类相乘法 。
【关键词】幻方 杨辉 九九图 新发现
本文的题目来源于谈祥柏老先生的著作《奇妙的幻方》（济南·明天出版社 1994年3月第一版 1996年7月第四次印刷），该书第二十小节的标题就是“九九图的新发现”。笔者这篇短文标题仅仅多加两字，一来以示区别，二来也表示下文是学习谈先生此书的结果。
谈祥柏老先生是我国著名的科普作家兼娱乐数学专家，笔者在高中大学阶段，就对他的文章十分感兴趣，获益匪浅，印象很深。
著名数学家张景中院士在其主编的《走进教育数学》丛书的总序中，热情洋溢的向读者推介说：“谈起中国的数学科普谈祥柏的名字几乎无人不知。老先生生平近八旬，从事数学科普创造超过半个世纪，出书50多种，文章逾千篇。对于数学的执着和一生的爱，洋溢于他为本丛书所写的《数学不了情》的字里行间。哪怕仅仅信手翻上几页，哪怕是对数学知之不多的中小学生，也会被一个个精彩示例所显示的数学之美和数学之奇深深吸引。书中涉及的数学知识似乎不多不深，所蕴含的哲理却足以使读者掩卷遐想。”（引自[1]第Ⅶ页）
关于杨辉九九图，不少有关于幻方的资料均有所介绍（如[2]、[3]、[4]），本文多有所涉及，不再一一加注。
现在书归正传，说道九九图的新发现，原来谈老先生是介绍国外有一位研究中国古算的学者寺村周太郎的成果，说的是九九图示一个“中心对称”型的幻方，凡是与中心距离相等的任意两数之和都等于82，即中心数41的二倍。图中（见图1）除了中央的九数成为一个三阶幻方之外，，另外还“隐藏”着三个三阶的幻方，即打着圈的九个数字（其中心定有一个是中心数41），也可排列成三阶幻方。这些三阶幻方的和常数全都是123，恰恰等于中心数的三倍（见图2）。
这个新发现，在[3]的第21页第2段里也介绍到，其中第1段即第①条还提到另外9个三阶小幻方，在第20页里还注意到一个洛书三阶幻方，并特别说明“这是很值得注意的”！
那么，为什么“很值得注意”呢？遗憾的是，该书的编者在第一版、第二版都再没有下文！
笔者的“新发现”正是从这里入手。
首先，不妨仅标出这几个小幻方在九九图中的位置，而略去其它数字，如图3-1、图3-2、图3-3所示。
这样的小幻方还有6个，一共9个。这9个3阶幻方正是吴鹤 老师在[3]的第71页，图2-20所示的3阶幻方“自乘”获得9阶幻方。也就是说，杨辉九九图也可以用相乘法，通过将2个低阶幻方“相乘”而获得一个高阶幻方，所不同的只是，图2-20的9阶幻方，是把9个小幻方“整块”植入，而杨辉九九图则是“分散”植入，是遵循九个小幻方中9个相应的空格植入，比如图3-1所示的小幻方便是植入每个小幻方方格中的第3行第2列中，而图3-2所示的则植入9个方格中的第1行第3列的方格中，这样，我们就 得两种相乘法，不妨称为第Ⅰ类相应乘法和第Ⅱ类相应乘法。
需要指出的是，九九图的制作方法，大都采用著名中算史专家李俨先生的说法，笔者在此介绍的“第Ⅱ类相乘法”可能算是一个“新发现”，但，极有可能只是一种“重新”发现！
关于杨辉九九图，笔者还有一点“新发现”：
观察图1所示的九九图，若将整数1-9改写为01，02，03，…，09.并定义32-23这样的数位逆序数，则图中9个小3阶幻方中的数，都充满几对逆序数，如图4-1，图4-2，图4-3等所示。
在图4-1中有4对逆序数（注意55标示为1对！）图4-2也有4对，尤其是图4-3完全是由逆序数组成的，太美妙了！更有趣味的它们的十位数字或个位数字分别构成两个3阶幻方，且都与洛书仅相差数字1。
最近，笔者在一个偶然的探索中，得到一个3阶数阵（见图5-1），它有两个特点，最大数9处于“中心”位置，“譬如北辰，居其所而众星拱之”（引自《论语·为政》），它的左右泛对角线以及第3行，第3列的幻和均为15，故暂名之为“3阶光明顶”或“3阶孔雀幻方”！
然后，再用本文中所说的第Ⅱ类相乘法，便得到图5-2所示的九阶孔雀幻方，它的9个3阶小孔雀幻方，同样呈现出逆序数的形式美，数字美！
搁笔良久，又有所“发现”：图4-3各小格内的数的数字居然是8，9个8，真讨某些人的喜欢，不过对笔者来说，宁可把它当做“法！法！法！”当然，你亦可把它说成“伐，伐，伐”、“罚，罚，罚”！
参考文献
[1] 谈祥柏.数学不了情[M].科学出版社 2010年4月第一版.
[2] 李抗强.数学趣味幻方[M].香港天马图书公司出版 2003年4月第一版.
[3] 吴鹤龄.幻方及其他[M].科学出版社 2004年10第二版.
[4] 詹森.你亦可以造幻方[M].科学出版社 2012年3月第一版.