数形结合法在《微积分初步》授课中的部分运用

时间:2022-09-01 01:24:45

数形结合法在《微积分初步》授课中的部分运用

摘要: 鉴于《微积分学初步》是中央电大统设科目(学生需要参加统考),而我校相当一部分在读高职的学生数学基础知识薄弱,概念模糊,对常用公式、定理、性质记得不清,对基础知识、基本技能和基本方法掌握得不够。针对这些情况,为使复杂问题简单化、抽象问题具体化,以提高学生统考合格率,笔者在平时的授课中力求数与形的结合,并把其中的一些具体做法罗列出来,期望能起抛砖引玉之效。

Abstract: Calculus Preliminary is the system arranged course of CRTVU (students need to participate in unified examination), while a considerable part of vocational students in reading of our college have weak basic knowledge of mathematics, blurred concept, unclear common used formulas, theorems, nature, not enough basic knowledge, skills and methods. For these situations, in order to make complex issues becomes simple, abstract issues becomes concrete and improve the pass rate of students' unified examination, the author seeks to the symbolic-graphic combination in the usual teaching, sets out some specific practices, expects to play valuable feedback effect.

关键词: 统设科目;微积分学初步;数形结合

Key words: system arranged course;calculus preliminary;symbolic-graphic combination

中图分类号:G622 文献标识码:A 文章编号:1006-4311(2014)03-0216-03

0 引言

《微积分初步》是中央广播电视大学数控技术、计算机网络技术和计算机软件测试专业计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程,通过本课程的学习,使学生对微分、积分有初步认识和了解,使学生初步掌握微积分的基本知识和基本运算方法,并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力,较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,为学习本专业其它课程和今后工作的需要打下必要的基础。因此,对本课程知识掌握的好坏直接影响到后续课程的教学以及电大高质量人才的培养。而事实上,限于学生基础知识薄弱等因素制约,要学好本课程不是件容易的事。

由于数形结合思想的特点是由数思形,将抽象的数式转化成直观的图形,以形助数。其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象的思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,话抽象为直观。所以,为了降低学生的认知难度,激发他们的学习兴趣,在具体授课中,笔者注重将数与形的知识结合起来。

1 数形结合法在函数概念学习中的运用

1.1 讲到函数的对应关系时,

如:f(x)=x2+2x-7

帮助学生理解成:f()=()2+2()-7

1.2 讲到函数定义域求法时,强调具体可通过下面的途径确定:

①函数式里如果有分式,则分母的表达式不为零。

即:若y=■,则?驻≠0

②函数式里如果有偶次根式,则根式里的表达式非负。

例如:若y=■,则?驻?叟0

③函数式里如果有对数式,则对数式中真数的表达式大于零。

即:y=loga?驻,则?驻>0

④若函数式为若干表达式的代数和的形式,定义域为各部分定义域的公共部分。

⑤对于分段函数,其定义域为函数自变量在各段取值的并集。

⑥对于实际的应用问题,应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。

最后讲至用区间表示定义域时,补充区间与不等式的关系:

1.3 在复习完增减函数时,请学生结合图形说出函数y=f(x)的增、减区间。

2 数形结合法在函数极限学习中的运用

2.1 x∞时函数的极限,如图1、2。

通过给出这两个图象,引导学生考察x∞时函数的极限必须同时考虑x+∞与x-∞这两种情况下函数的极限是否相等。

即:■f(x)存在?圳■f(x)=■f(x)

2.2 xx0时函数的极限,如图3。

通过图3引导学生讨论函数f(x)=-x,x?燮0,1+x,x>0,在x0处的极限存在情况。

从而知道要求xx0时函数的极限,必须知道xx■■,xx■■时函数的极限是否相等。

即:■f(x)存在?圳■f(x)=■f(x)存在且相等。

3 数形结合法在函数连续性学习时的运用

引入函数在某点连续的概念时,先亮出图4,让学生直观认识到y=f(x)在点c处连续时图形是一笔画成的;然后再亮出图5、图6、图7,引导学生分析函数在点c处不连续的原因:其中图5是因为f(x)在点c处没定义;图6是因为f(x)在点c的极限不存在;图7是因为f(x)在点c处的极限值与在该点处的函数值不等。

从而帮助学生理解函数y=f(x)在点c处连续必须满足的三个条件:

①f(x)在点c处有定义;

②f(x)在点c处有极限;

③f(x)在点c处的极限值为该点处的函数值,

即■f(x)=f(c)。

4 数形结合法在导数几何意义学习中的运用

通过图8,引导学生分析:

当N=■M0时,割线M0N切线M0T,?驻x0,?渍?琢,所以切线M0T的斜率为

k=tan?琢=■tan?渍=■■=■■=f′(x0)

5 数形结合法在导数应用学习时的运用

5.1 函数单调性的判断

观察图9、图10,理解关于函数单调性的判断方法:

①若在区间(a,b)内,f′(x)>0,则函数f(x)在(a,b)内是单调递增的。

②若在区间(a,b)内,f′(x)

5.2 函数的极值

请学生说出图11中有哪些极值点,最值点是哪两点。

通过图12,直观理解极值的判断方法:

若可导函数y=f(x)在点x0处取得极值,则f′(x0)=0;

若导数在x0点左正右负,则x0为极大值点,f(x0)为极大值;

若导数在x0点左负右正,则x0为极小值点,f(x0)为极小值;

若导数在x0点左右同号,则x0不是极值点。

6 数形结合法在定积分学习时的运用

6.1 定积分的几何意义

当f(x)>0(a

此时A=■f(x)dx 此时A=■f(x)dx

如图15所示,在区间[a,b]上,若f(x)有正有负,则图中阴影部分的面积为A=■|f(x)|dx

=■f(x)dx-■f(x)dx+■f(x)dx.

6.2 定积分的其中几个性质

①性质1(定积分对积分区间的可加性)

■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx (a

原因:如图16

曲边梯形abBA的面积=曲边梯形acCA的面积+曲边梯形cbBC的面积。

②性质2

当f(x)是偶函数时,■f(x)dx=2■f(x)dx

原因: 如图17

由于偶函数图象关于y轴对称,此时面积A1 =面积A2,所以■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx=A1+A2=2A2=2■f(x)dx。

当f(x)是奇函数时,■f(x)dx=0

原因:如图18

由于奇函数图象关于原点对称,此时面积A1=面积A2,所以

■f(x)dx=■f(x)dx+■f(x)dx=-A1+A2=0

7 结束语

以上只是笔者在《微积分初步》个别章节授课中采取了数形结合法,旨在将抽象的数学事实与直观的图形结合起来,帮助学生学得更扎实,记得更清楚、牢固。诚如著名数学家华罗庚所言:“数与形本是相倚依,怎能分做两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微。”他还风趣地说:数形结合百般好,隔裂分家万事非。”看来我们还真的不要得意忘“形”。

参考文献:

[1]张祥福.“形”之有效[J].数学论文,2003(6).

[2]赵坚,顾静相.微积分初步.1版.北京:中央广播电视大学出版社,2006.12.

[3]邓立虎.关于微积分学中的形而上学方法[J].东莞理工学院学报,2005(02).

[4]郭建霞,党健,张建林.《微积分学》教学与调动学生学习积极性[J].新乡师范高等专科学校学报,2005(05).

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