审题是解题的关键

解题的第一步是审题，它是整个解题的基础，也是最重要的一个环节.审题就是要求学生仔细阅读题目，对问题进行全面的认识，理清哪些是已知的，哪些是未知的，哪些是要求的结论，它们之间有什么内在联系？准确、充分地感知题目信息是解题成功的前提条件.有数学家讲过：“善于解题的人，用一半的时间来审题，而用另一半时间来完成解题.”可见审题在解题中的重要性，但它却常常被学生忽视.下面谈谈学生在审题阶段的几种常见错误：

一、抓不住关键词

学生在解题中匆匆读题后就急于下手的情况很普遍，常出现因抓不住关键词而导致解题错误.

例1.已知直线l1：3x—y+12=0和l2：3x+2y—6=0，求直线l1和l2 及y轴所围成的三角形面积.

错答：18

剖析：错答的主要原因是：学生审题时犯了粗心的毛病，把题目中的关键词“y轴”误认为是“x轴”，导致解题结果为：18.这种错误的原因是：注意功能失调导致注意范围狭隘，观察不周.正确答案是：9.

二、数学概念模糊不清

常见的表现有：（1）对基本数学概念理解不透彻；（2）对邻近概念辨别不清.

例2.过点P（2，1）且与两坐标轴所围成的三角形面积为4的直线方程.

误解：设所求直线l的方程为=1，

点P（2，1）在直线l上，a=4b=2，

故所求的直线l的方程为，即直线l的方程为：x+2y—4=0.

剖析：错解把截距与距离混为一谈，是对截距的概念模糊不清.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积

正解：设所求直线l的方程

点P（2，1）在直线l上，

a·b=8或a·b=—8

若a·b=8，故所求直线l的方程：x+2y—4=0.

三、忽视公式、定理成立的条件

形式地记忆公式、定理，对其本质缺乏深刻理解，因此不考虑是否具备应有条件，生硬地加以套用常常会造成解题错误.

例3.直线l1：（a+2）x+（1—a）y=3，l2：（a—1）x+（2a+3）y+2=0垂直，求a.

误解：—1

剖析：两直线垂直等价于两直线的斜率的积k1·k2=—1，同时两直线的斜率就认为是k1=k2=忽视了其成立的条件，生硬地加以套用造成了错误.该题的正确答案是：1或—1.

例4.经过P（4，5），且在两坐标轴的截距相等的直线方程为________________。

误解：x+y—9=0

剖析：直线在两坐标轴上的截距相等，故直线方程可设，忽视了使用这种形式的直线方程截距不为0的前提条件。该题的正确答案是：5x—4y=0或x+y—9=0。

四、增添潜在假设

“潜在假设”作为一种曲解题意的错误表现，它不是深思熟虑或不加考察的结果，而是对某些事物尚未建立清晰概念而在头脑中自动形成的。置身于新环境的人，当他们对新事物尚未认识清楚时，过去的经验很可能促成一种“潜在假设”而影响他的正确思维。

例5.已知直线l：（m2+1）x+（m2—m+1）y—（4m2—3m+4）=0，圆C：（x+1）2+（y+1）2=4，试判断直线l与圆C的位置关系。

误解：直线l的方程可化为：m2（x+y—4）+m（—y+3）+x+y—4=0

令x+y—4=0—y+3=0

x=1y=3，

直线l恒过定点P（1，3）

（1+1）2+（3+1）2=20>4，

点P（1，3）在圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的外部。

直线和圆的位置关系可以相交、相切或相离。

剖析：实际上，这种解法增加了“潜在假设”。原直线方程仅表示平面内过定点P（1，3）的部分直线，故直线系中的直线和圆的位置关系除了和定点P（1，3）与圆的位置有关外，还和直线斜率的取值有关。对于“潜在假设”，要从多方面、多角度加以分析，用多种方法或特例进行检验，防患于未然。

正解：点P（1，3）在圆C：（x+1）2+（y+1）2=4的外部。

五、隐含条件挖掘不够

解题离不开条件，解题条件大致可分为明条件和暗条件两类。明条件是指题目中直接给出的条件，一般它是解题的主要依据；暗条件是指题目中那些若明若暗、含而不露的已知条件，或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件，隐含条件，一般不易被发觉，但是它在解题中的作用不可忽视。许多数学题，它不是把所有的条件都直接明了地告诉学生，而是把某些条件隐含在习题的其他条件、结论或数学式子当中。

例6.已知两圆的方程分别为（x—2）2+y2=16和（x+1）2+（y—4）2=4，则下列命题正确的是（ ）

A.两圆的公共弦所在的直线方程为3x—4y+14=0

B.两圆的外公切线方程为3x—4y+14=0

C.两圆的内公切线方程为3x—4y+14=0

D.以上命题都不正确

误解：若设点（x1，y1）、（x2，y2）为此两圆的交点，通过设而不求的思想，得出两点（x1，y1）、（x2，y2）坐标一定满足方程3x—4y+14=0，又过两点能确定一条直线，故方程3x—4y+14=0为两圆的公共弦所在的直线的方程，故选A。

剖析：回顾该学生的解题过程，不但看似天衣无缝，而且应用了设而不求的思想方法，减少了运算量，但仔细推敲，两圆一定相交吗？此解错在隐含条件挖掘不够，由两圆的方程可得圆心距等于此两圆的半径之和，两圆外切，故选A显然不正确。该题的正确答案选C。

综上，在解题教学中，教师要特别重视“审题”这一环节的教学，不断强化学生的审题意识，指导审题方法，培养学生良好的审题习惯，提高学生的审题能力，并把它作为重要内容之一进行训练。学生在解题时要做到：

1.读题时认真细致，对一些关键的词句应特别注意，要求做到“咬文嚼字”，切忌盲目答题。

2.试题中的隐含条件具有一定的隐蔽性，它对解题的影响很大，把隐含条件挖掘出来，常常是解题的关键所在，审题时若注意挖掘和利用题中的隐含条件，不但能突破难点找到解题方法，而且可以优化解题过程，平时在教学中教师要有意识地对学生做好这方面的训练。

3.对较为熟悉的题目，要仔细地比较与以往做过题目的异同，切忌盲目地模仿做题。

4.遇到新题目，要认真分析题意，弄清已知和未知的联系，并进行合理的推测、联想、转化，然后找到解题的突破口，切忌想当然地解题。

总之，审题能力的培养既要潜移默化地熏陶，又要着重进行训练。当然，在培养审题能力的过程中，让学生打下扎实的知识功底也是必不可少的，因为扎实的知识功底是正确审题的前提。因此，培养学生的审题能力是一项艰巨的任务，需要教师在教学过程中不断探索，总结经验，改进方法。

（作者单位 江苏省南菁高级中学）