时间：2022-08-30 09:46:10
菱形是一种比较特殊的四边形，它的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，那么，如何判定一个四边形是菱形呢？菱形的判定应首先注意前提条件：是一般四边形还是平行四边形.然后再从边或对角线的角度去判定.
法宝一：平行四边形+一组邻边相等菱形
例1 （2014年・南京）如图l，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.过点E作EF∥AB.交BC于点F
（l）求证：四边形DBFE是平行四边形.
（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
解：（1）因D，E分别是AB，AC的中点，故DE是ABC的中位线，DE//BC.又EF//AB，所以四边形DBFE是平行四边形，
（2）当AB=BC时，四边形DBFE是菱形，理由如下：
因D是AB的中点，故
因DE是ABC的中位线，故
因AB=BC，故BD=DE.故平行四边形DBFE是菱形.
法宝二：平行四边形+对角线互相垂直菱形
例2 （2014年・北京）如图2，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD、交BC于点E.BF平分∠ABC，交AD于点F.AE与BF交于点P.连接EF.求证：四边形ABEF是菱形，
分析：由角平分线的定义、平行四边形的性质易得AB=AF，AB=BE，于是得AF与BE平行且相等，证得四边形ABEF是平行四边形.由平行线的性质以及角平分线的定义可得∠APB =90°，从而可以利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证得结论.
简证：因AE平分∠BAD，故∠BAE=∠FAE.
因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，所以∠FAE=∠BEA.
∠BAE=∠BEA，AB=BE.同理得AB=AF
下略，见“分析”.
法宝三：四边形+四条边相等菱形
例3 （2014年・淮安）如图3，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC.将ABC折叠，使点A与点D重合，展开后，折痕分别交AB，AC于点E，F.连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形.
证明：因AD平分∠B4C，故∠BAD=∠CAD.
将ABC折叠，使点A与点D重合，知点A，D关于直线EF对称.
AE=DE，AF=DF，EFAD.
∠AOE=∠AOF=90°.
由对称性可知AE=DE，AF=DF
AE=DE=DF=AF四边形AEDF是菱形，
法宝四：四边形+对角线互相垂直平分菱形
例4（2014年・新疆）如图4，已知ABC.按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF//AB，交PQ于点F，连接AF.
（1）求证：AED全等于CFD.
（2）求证：四边形AECF是菱形.
简证：（1）由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，于是AD=CD.再根据CF//AB，可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD.利用“角角边”可以证明两个三角形全等.
（2）因AED全等于CFD，故ED=FD.
又由作图可知PQ为线段AC的垂直平分线，
EF与AC互相垂直平分，
四边形AECF是菱形.