离心率问题解法攻略

圆锥曲线离心率问题在高考中常以客观题的形式出现，常见题型可分为两类，一是求圆锥曲线的离心率，二是求圆锥曲线离心率的取值范围.下面我们就来谈谈圆锥曲线离心率问题的解法.

一、利用定义法求解

例1 点P（-3，1）在椭圆+=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点F，则这个椭圆的离心率为

（A） （B） （C） （D）

解析： 如图1所示，设Q为入射点.因为P（-3，1）在椭圆的左准线上，所以-=-3.由a=（2，-5）可知入射光线PQ的斜率k=-，所以直线PQ的方程为y-1=-（x+3）.当y=-2时，x=-，即Q-，-2.因为y=-2平行于x轴，所以入射光线PQ与反射光线QF的对称轴垂直于x轴，由对称关系可知反射光线QF的斜率k′=-k=，所以直线QF的方程为5x-2y+5=0.因为QF过焦点F（-c，0），所以-5c+5=0，解得c=1.又-=-3，所以a=. 所以e==，选A.

点评：用定义法求解即根据条件直接求出a，c，再由离心率公式e=解得答案.这种方法适用于能直接求出a，b，c中任意两个量的问题，难度不高.

二、利用方程思想求解

例2 [2012年高考数学湖北卷（理科）第14题第（1）问] 双曲线-=1（a>0，b>0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则双曲线的离心率e= .

解析：如图2所示，因为点D为圆O与菱形F1B1F2B2的切点，所以ODF2 B2. 设圆的半径为r，则OD=r=OA2=a.因为B2为双曲线虚轴的端点，所以OB2=b.又OF2=c，所以SF2OB2=OB2·OF2=bc=OD·B2F2=a，即bc=a，两边平方得b2c2=a2（b2+c2）.将b2=c2-a2代入可得（c2-a2）c2=a2（2c2-a2），整理得c4-3a2c2+a4=0.等式两边同除以a4可得4-3·2+1=0，即（e2）2-3e2+1=0.整理得（e2-1）2=e2，即（e2-1+e）·（e2-1-e）=0.解得e=或e=.因为双曲线的离心率e>1，所以e=.

点评： 例2没有涉及具体的a，b，c的值. 对于这类不能直接求出a，c的值，或者求a，c的值计算量过大的问题，我们可以根据条件，用几何形式或代数形式表示出a，b，c之间的关系，构造关于a，c的方程，求出离心率.这类问题难度适中，在解题时应注意椭圆、双曲线和抛物线的离心率的取值范围分别是0

三、利用不等关系求解

例3 [2010年高考数学四川卷（理科）第9题] 椭圆+=1（a>b>0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

（A） 0， （B） 0，

（C） [-1，1） （D） ，1

解析：如图3所示，设椭圆与x轴交于M，N.因为线段AP的垂直平分线过点F，所以FA=FP.

因为P为椭圆上的动点，F为椭圆的右焦点，所以FN≤FP≤FM.因为FN=ON-OF=a-c，FM=OM+OF=a+c，所以FP∈[a-c，a+c].因为椭圆的右准线方程为x=，而FA=OA-OF=-c==FP，所以∈[a-c，a+c]，由此可得≥a-c （①），≤a+c （②）.由①解得e=≤1，由②解得e≥.又椭圆的离心率e∈（0，1），所以e∈，1.选D.

点评： 解决例3的关键是根据椭圆上一动点到焦点的距离的取值范围[a-c，a+c]建立起关于a，c的不等式组，再结合椭圆本身离心率的取值范围求解.解决求离心率取值范围的问题时，关键是根据线段的长度、角的大小、三角形的三边关系等几何关系列出关于a，c的不等式，并把它转化成关于e的不等式求解.这类问题往往能求出多个答案，解题时应注意结合圆锥曲线离心率本身的取值范围进行取舍.

四、利用数形结合思想和几何知识求解

例4 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且=2，则椭圆C的离心率为 .

解法一：如图4所示，因为OB=b，OF=c，所以BF==a.作DD′y轴，由=2可得==，所以DD′=OF=c. 作椭圆的右准线x=，延长D′D交右准线于Q，根据椭圆的第二定义可得=e==，所以FD=e·-=a-. 又BF=2FD，所以BF=a=2a-，结合椭圆离心率的取值范围（0，1）解得e=.

解法二： 设椭圆方程为+=1（a>b>0），则B（0，b），F（c，0），设D（xD，yD）.因为点F分BD的比例为2 ∶ 1，所以由xF ==c可得xD=c，由yB=b=-2yD可得yD=-.将Dc，-代入椭圆方程可得+=1，结合椭圆离心率的取值范围（0，1）解得e=.

点评： 例4是一道综合性问题，涉及椭圆的方程与几何性质、椭圆的第二定义、平面向量知识、数形结合思想和方程思想.以上两种解法的切入点虽然不同，但解题的关键都是将向量关系转化为线段或坐标之间的关系，再用代数形式求解.

小结： 要解决圆锥曲线离心率问题，不仅要掌握圆锥曲线的相关性质，记住一些常见的结论和不等关系，如椭圆中a2=b2+c2、双曲线中c2=a2+b2、椭圆上的动点P到焦点F的距离PF应满足a-c≤PF≤a+c等，还要注意利用几何关系、结合数形结合思想与函数思想寻找有价值的信息.对于条件复杂的综合性问题，可结合以上多种方法求解.

【练一练】

[2012年高考数学新课标全国卷（理科）第4题] 设F1，F2是椭圆E：+=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2 PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为

（A） （B） （C） （D）

【参考答案】

C （提示：如图5所示，设直线x=与x轴交于点Q，作F2 DF1 P. 因为F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以F2F1=F2P，∠PF1F2=30°=∠F1PF2，∠F1F2D=∠DF2P=60°=∠PF2Q，F2 D=F1F2=c.

因为∠F2QP=90°，由∠F2PQ=30°=∠F2PD、∠PF2Q=60°=∠PF2D、PF2为F2DP与F2QP的公共边可知F2DP≌F2QP，所以F2D=F2Q. 由F2Q=OQ-OF2=-c=F2D=c，解得椭圆的离心率e=）