竖直平面内的圆周运动的临界问题的分析

竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

一　临界问题的分析方法：

１．"绳模型" 没有物体支撑的小球，如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。（注意：绳对小球只能产生拉力）

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①临界速度 ：v0小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知 mg=mv2R，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为v0=gR，它是小球能过圆周最高点的最小速度．

②当 mggR小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生拉力和压力． 

③当mg>m v2R，即v

小结：对于绳类模型（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =mv2RV临界=Rg

（2）小球能过最高点条件：v≥Rg（当v >Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）

（3）不能过最高点条件：v

２．"杆模型"如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）

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①临界速度v0：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在"掉下来"的情况．小球恰能达到最高点的临界速度v0=0．

②小球过最高点时，所受弹力情况：

A．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg．

B．当小球的实际速度v>gR时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此 FN=mv2R-mg，所以弹力的大小随v的增大而增大，且mv2R> FN>0．

C．当00.可以看出v=gR 是轻杆（或管状轨道）对小球有无弹力和弹力方向向上还是向下的临界速度．

小结：杆类模型：（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）

（2）当0< v F > 0（F为支持力）

（3）当v = Rg时，F=0

（4）当v >Rg 时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）

例题分析：如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）

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A．a处为拉力，b处为拉力　B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力　D．a处为推力，b处为推力

解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0 ≤vmg，此时为拉力。故选：A、B