极坐标法证一高考题及其推广

摘要：本文应用极坐标法对2007年重庆市理科高考第22题及其推广进行证明. 由于方法新颖、简捷、富有规律、不添加辅助线，故值得高中数学教师阅读参考.

关键词：极坐标；高考题；推广

题目（20０７重庆）如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线为x=12.

（1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同的点P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：++为定值，并求此定值.

图1

解析首先容易求得椭圆的方程为+=1. 为了证明（2），以F点为极点建立如图2所示的极坐标系. 由=12和c=3，可得e==；又p=－c=9，故椭圆的极坐标方程为ρ=. 设P1，P2，P3的坐标分别为（ρ1，θ），ρ2，θ+，ρ3，θ+，则++=++=2－cosθ+2－cosθ++2－cosθ+.

因为cosθ+cosθ++cosθ+=cosθ+cosθcos－sinθsin+cosθcos－sinθsin=cosθ－cosθ－sinθ－•cosθ+sinθ=0，所以++=++＝•6=为定值.

上述试题（2）可叙述为：在椭圆上取三个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这三个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个常数，即=?摇（是一个只与3有关的常数）.

显然，由e=，p=9，可得==.

上述命题还可推广为：

在圆锥曲线上取n个点，使每相邻两点与同一焦点连线所夹的角均相等，那么这n个点所对应的同焦点的焦半径的倒数之和是一个只与n有关的常数（即当n确定之后，这些焦半径的倒数之和是一个常数）.

证明如图3，在曲线上取n个点M1，M2，…，Mn（n≥2），使每相邻两点与焦点F的连线所成夹角均相等，即∠M1FM2=∠M2FM3=…=∠MnFM1=，那么点M1的极角为θi=（i－1）•+θ，MiF=.?摇所以==－•cos（i－1）+θ. 因为n≥2，所以sin≠0. 所以cos（i－1）+θ=•2cos（i－1）+θ•sin=•sini－+θ－sini－+θ?摇=sinn－+θ?摇－sin－•+θ=•2cos+θ•sinπ=0. 由此得到=（是一个只与n有关的常数）.

综上所述可知：由于高中数学新课程标准把《坐标系与参数方程》列入了选修系列4，使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中. 上面的解题充分显示了极坐标的重要作用，说明圆锥曲线的统一极坐标方程在高考中是有用武之地的. 本文提出这一研究，目的是为抛砖引玉，引起高中数学教师的重视.

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