“综合法”还是“向量法”

摘 要：解决立体几何问题有“综合法”和“向量法”，本文通过具体案例，对学生出现的问题及思维的误区进行分析总结，使得对立体几何的学习有更深刻的认识。

关键词：综合法； 向量法； 选择

中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1006-3315（2014）04-023-002

在高中学习中，立体几何被分成两个阶段进行教学。第一部分安排在高一学习的《必修2》，第二部分安排在高二学习的《选修2-1》。这两种解决立体几何的方法通常称为“综合法”和“向量法”。对于一种题型，有了多种解法，无疑使学生在做题的过程中有了更多的选择，成功率也应该大大提高。但在实践中，学生并没有因为立体几何解法的多样性而变得轻松。这引发了笔者的思考：在考试中，到底是选择传统的“综合法”，还是选择偏重于计算的“向量法”呢？考试的时间是有限的，只有在最短的时间内作出正确的判断，缩短解题时间，才能取得考试的成功。下面，本人就最近的一道测试题，来探讨这个问题，并加以分析。

问题 如图1，一直四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2,PAB是正三角形，且平面ABCD平面PCD。

（1）若O是CD的中点；证明BOPA；

（2）求二面角B-PA-D的余弦值。

上述这道题选自2013广东深圳二模，在本年级理科统一测试中选用了此题，批改的过程中，笔者发现有相当数量的同学第一问采用的综合法，第二问采用的向量法。也有部分同学从第一问就开始尝试向量法，但效果不尽人意。

1.综合法“小露锋芒”

综合法要求学生具备较强的空间构造能力，能在短时间内剔除无关点、线、面的干扰，透过图形看到所求问题的本质，通过发掘题目中的隐含条件或者辅助线等方式，很快解决问题。就本题而言。

第一问：要证明线线垂直，须找到线面垂直，而图形线条较分散，须连接两条辅助线OA，OP，构造平面AOP，然后证明OB平面OAP，进而得到线线垂直。

第二问：要求二面角，首先要找到二面角的平面角。找二面角的平面角一般有定义法、三垂线定理法、垂面法等。

法一（如图2）：延长BO，AD交于E，取PA中点F，连接BF，EF，可验证BFAP，EFAP，则∠BEF即为所求二面角的平面角。此法利用定义法，将线段延长，补齐图像，找出此角对学生来说是较困难的。但根据题中各线段比例关系，较容易算出此角的余弦值。

法二（如图2）：取PA中点Ｆ，连接BF，过点F作FGAP交DP于G，则∠BFG即为所求角。此法也是定义法，利用等边三角形的性质得到一组垂直，另一组垂直自行作出，找此角并不困难。计算问题上，只要连接合理的辅助线(CG)，利用已知比例关系，相似三角形ADP∽GFP得出的线段比例关系，余弦定理(计算CG)，以及BC平面PCD得到BCCG，可计算出BGF的三边。最后由余弦定理计算出二面角的平面角的余弦值。这种方法，找角容易，但计算困难较大，学生在短时间内不好把握。

法三（如图2）：这种方法是在法二的基础上进行了改进。先过顶点D作DIAP于I，然后过I作BF的平行线AB于J。易知JIAP，∠DIJ即为所要求二面角的平面角。因此只需要计算出DIJ的三边即可。由垂直，相似的比例关系很容易计算出三边。此法，最关键的就是将BF经过平移为IJ的三边即可。这样利用顶点D构造的三角形更容易计算，较第二种方法更优。

学生的疑惑：(1)找二面角的平面角。对学生来说是难点，经常用到三垂线定理及其逆定理，但在必修2中并没有作为定理给出，而是出现在空间向量与立体几何一个例题中。因此，老师可以事先向学生补充这个知识，使学生认识到这一内容的重要性，从而提高效率。(2)角的计算。要将角放在合适的三角形中，利用解三角形的知识算出，这里体现了我们数学知识都是互相联系的。

2.向量法“一展身手”

向量法处理立体几何问题可以化繁为简，摆脱复杂的点、线、面之间的关系，不用添加辅助线，通过坐标的计算得出位置，角度，距离等关系。首先，要建立合适的空间坐标系。建立空间直角坐标系可以(1)利用共顶点的互相垂直的三条棱构建；(2)利用线面垂直关系构建；(3)利用面面垂直关系构建；(4)利用正棱锥的中心与高所在的直线构造。

本题已知平面ABCD平面PCD，以D为坐标原点，DC为所在射线的X轴，DC右侧垂直于DC的射线为Y轴DA所在射线为Z轴，此构建右手系空间直角坐标系。

第一问：要证明BOPA，只需转化为这两条直线共线的向量的数量积为0。由于ADP?艿BCP得到CP=DP，OPCD，故OP与Y轴平行，经计算OP=■，各点坐标A(0，0，1)，P(1，■，0),O(1，0，0),B(2,0,1)■=(1，0，1)，■=（-1，-■，1），易证■・■=0即证。在这种做法中，写出向量坐标是关键，其关键就是能准确写出各点的坐标。

第二问：要求二面角的平面角，可以转化为求两个平面的法向量之间的夹角或其补角。有了第一问的基础，很多向量的坐标都已写出，法向量可以算出。然后计算法向量之间的夹角，取出二面角。

学生的疑惑：(1)建系困难。建立空间直角坐标系应遵循尽量利用已知点，已知线，最重要的是找到图中两两垂直的三对线。切忌不能主观判断垂直，随便建系。在我们教科书中讲到的是建立右手系，有的同学按照自己的意愿建系，如果计算仔细，能得到同样的结果，但是如果稍有错误，不易检验，给评卷的老师带来很大困难，使得评分标准会有一定差异，因此，学生尽量还是应该选用右手系。(2)计算量大。向量法的思路简单，然而需要很强的计算功底。因此要求学生在看点的坐标，计算向量的坐标时保证百分百的正确率。如果在计算的过程中有一个点或者向量坐标错误，后面的计算已经是徒劳。(3)二面角的选取。二面角的选取与法向量的选取方向有关系。课上，某些老师讲通过看图，看二面角是锐角还是钝角，学生其实一知半解，因为立体图形在平面上画出来的视觉图，学生看图有可能出现误差。因此老师可以根据课堂需要，根据课程安排，根据具体案例，适当向学生补充判断二面角的方法：如果法向量的方向都指向二面角的内部或外部,则二面角与法向量所夹角互补；如果法向量的方向一个指向二面角的内部，一个指向二面角的内外部，则二面角与法向量的夹角相等。

3.小结

通过本人对以上案例的分析，认为“综合法”，“向量法”都有各自的优缺点。“综合法”中的几何思想更能体现我们开设立体几何这个知识点的意图，这些能力对于今后计算机、工程作图、生活等方面是一个很好的启蒙。“向量法”主要是利用空间向量这个工具，建立立体几何与空间向量的联系，进行空间向量的运算，作出运算结果的几何解释，进而得出几何结论。“几何”和“代数”就像一对兄弟，在我们数学的学习过程中一直贯穿始终。因此学好立体几何，既要拥有几何学的思维，又要将代数知识与其联系，产生更多的创新，两者不能偏废。