浅论齿轮刚度的计算

摘要：本文主要介绍了几种常用的齿轮刚度计算方法，并通过实例对齿轮刚度进行了计算。

关键词：齿轮；刚度；计算齿轮是机械中重要的零部件，它应用广泛，特别是在传统的机械行业里面。齿轮传动由于具有传动平稳，噪声小，寿命长等优点，在机械传动中也得到了广泛的应用。然而对齿轮进行动态性能分析时，齿轮的刚度的时变特性也是不容忽视的。因此需要对齿轮的刚度进行分析计算。

齿轮刚度计算首先要计算轮齿变形，计算轮齿变形的方法一般有3种，分别是材料力学，数学弹性力学和有限元法。

在所有计算方法中，最早使用的是材料力学方法。基本方法是先将轮齿简化为弹性基础上的变截面悬臂梁，即轮齿任意啮合点处的方向力的作用下产生的法向弹性变形。这主要是由三部分组成：1）齿部的弯曲剪切变形，2）由齿根弹性引起的附加变形，3）啮合点处的接触变形。主要就非常简便而且利于计算，只是需要先对轮齿模型进行简化，不同的轮齿模型需要有不同的方式进行计算。比较常见的方法有Weber-Banaschek法，石川法和数值方法等。

Weber-Banaschek方法的依据是轮齿在法向力Fn作用下，沿啮合线方向发生了变形，这时法向力所做的功应与变形能相等。石川法是把齿轮简化为梯形和矩形模型进行计算。

数学弹性力学方法的基本思想就是把齿轮轮齿的受载变形问题简化为一个半无限体的受载变形，利用保角映射函数把轮齿的曲线边界C映射为直边边界场。这样可以应用弹性力学中平面问题的复变函数解答求解集中力作用下的半无限体的位移场，再由此确定受载轮齿的位移场。

康焱用有限元方法计算了渐开线直齿内齿轮的轮齿刚度，其最后得到的渐开线直齿内齿轮的载荷作用点的轮齿刚度的计算公式为[2-3]：

C=（E/A）（λx+1）B（x+1）C×10-9（3）

式中：

A=0.0011Z2-0.1381Z+12.8587

B=-0.0056Z+1.0483

C=-0.0002Z+0.0376

计算出轮齿任意啮合点k处的法向弹性变形δk以后，单个轮齿的啮合刚度即可求出kk=Fkδk，应该说明的是轮齿在不同的啮合点啮合时δk是不同的，因此轮齿的啮合刚度也是啮合点位置的函数。

一对轮齿i啮合时，在啮合力的作用下，主从动轮齿都会发生弹性变形。若将单个轮齿视为一个弹簧，则相啮合的一对轮齿可视为一对串联的弹簧。设k1，k2分别为主、从动齿轮在啮合点处法线方向的啮合刚度，则一对轮齿的综合啮合刚度kvi为

kvi=k1k2k1+k2，由于k1，k2是啮合点位置的函数，因此齿对i的综合啮合刚度kvi也是齿对啮合刚度的函数，具有时变性。图1啮合刚度K（X）曲线

A为啮入点、B为啮出点、C为节点，重合度为ε。

由于在一般情况下，直齿轮的重合度1≤ε≤2，因此在一对齿啮合和两对齿啮合的交替，一对齿是一组串联的弹簧，两对齿就是两组这样串联的弹簧并联，则kv=kv1+kv2。

斜齿轮啮合刚度计算与直齿轮啮合刚度的计算不同，由于在斜齿轮传动中轮齿啮合的接触线是倾斜的，接触线上的载荷分布是非均匀的，因此斜齿轮轮齿不能简化为二维平面问题，必须作为三维问题进行分析，因而其弹性变形的计算就更为复杂。梅泽清彦得出求斜齿轮刚度计算公式[4]：

k=[（-0.166×bH+0.08]×（β0-5）+44.5]×exp[0.322×（β0-5）+（0.23×bH-23.26）×x3]（4）

有限元法是现在计算斜齿轮轮齿最有效的方法。它主要有3类，一种是使用有限元法求在给定载荷作用下的轮齿变形，第二种是通过对大量计算结果的回归分析得到变形计算公式，第三种是采用接触问题有限元法，考虑多对轮齿的同时啮合及轮齿的接触变形，进行轮齿的啮合接触分析。

一般在进行齿轮刚度计算时，可以采用简化的方法来进行计算[5]。图2轮齿刚度曲线

CQ=20.80-49.5/z1-38.8/z2+40（x1/z1+x2/z2）+60∑x/∑z（5）

CA=CE=13.83-31.5/z1-20.5/z2+40（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（6）

CD=CB=20.86-53.7/z1-44.7/z2+25（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（7）

式中：CACBCDCE分别代表图中ABDE点的啮合刚度，z1z2x1x2分别代表齿轮1，2的齿数和变位系数，∑x、∑z分别为两齿轮变位系数之和与齿数之和。CAD代表平均双对齿啮合刚度，Cr代表整个啮合过程的综合啮合刚度，其计算式如下。

CAD=CA+CD=CB+CE=0.5（CA+CD+CB+CE）（8）

Cr=CAD（εα-1）+0.5（CD+CQ）（2-εα）（9）

利用上述公式进行计算得（变位系数均为0），通过上述公式，可以计算出齿轮对的啮合刚度。（作者单位：郑州华信学院机电工程学院）

参考文献

[1]王建军，张永忠，魏任之.齿轮轮齿弹性变形的计算方法评述[J].机械科学与技术，1996，15（11）.

[2]康焱，石照耀，林家春，姚文席. 渐开线直齿内齿轮的轮齿变形挠度解析[J].机械传动，2008，32（1）：5-7，64.

[3]康焱，石照耀，林家春，姚文席. 渐开线直齿内齿轮的轮齿刚度简化计算[J].北京工业大学学报，2007，33（12）：1246-1251.

[4]Umezawa K，Suzuki T，Sato T.Vibrations of power trans- mission helical gears（approximate equation of tooth stiff- ness）[J].Bulletin of JSME，1986，29（251）：1605-1611.

[5]张伟社，冯守卫.直齿轮轮齿刚度的简化计算.现代制造工程，2004（3）：72-74.