关于三次函数图像性质的研究及应用教学的几点思考

三次函数 是新课程标准下高中数学研究的一个重要的函数，是教学过程中的一个重点和难点，也是几年来高考考查的一个热点。现将自己在三次函数教学过程中的一些做法想法简要归纳，与各位同仁交流共勉。

一.三次函数是一种特殊函数，应将其放入一般函数的范畴中去确定图像及性质研究的主要方面，明确研究三次函数图像及性质的一般方法。

学生初次接触到三次函数是在学习导数之后，从哪些方面去认识研究三次函数是首先要解决的问题，它相对于以前研究过的其它函数是有些复杂，但它仍然是函数家族中的一员，图像和性质的研究是两个主要方面。而在其性质中，由表达式易得一般的三次函数无奇偶性和周期性，那重要的是研究单调性了。从研究方法上来说用导数最好。

二.三次函数图像及性质的研究。

1.单调性

， ，

= ，当 时，

（1） 当 即 时 在 R上恒成立， 即 在 为增函数.

（2） 当 即 时，解方程 ，得

或 在 和 上为增函数.

在 上为减函数.

当 时，可得到类似性质

（1） 当 即 时 在 R上恒成立， 即 在 为减函数.

（2） 当 即 时，

或 在 和 上为减函数.

在 上为增函数.

2.极值：由单调性易有结论： 三次函数 ，当 时，

（1） 若 ，则 在R上无极值；

（2） 若 ，则 在R上有两个极值；且 在 处取得极大值，在 处取得极小值.

当 时，

（1） 若 ，则 在R上无极值；

（2） 若 ，则 在R上有两个极值；且 在 处取得极大值，在 处取得极小值.

3.图像：由单调性的讨论，易得三次函数图像的四种形式

4.图像的对称性

分析1：设 的图象关于点 对称，任取 图象上点 ，则A关于 的对称点 也在 图象上

即 ，

结论：三次函数 的图象关于点 对称，

且对称中心在其图像上。

分析2：由上述结论，三次函数的图像有唯一对称中心，那其图像平移后过原点，对应函数必为奇函数，自然就有了 的配方式。反之可说明对称性。

，易知

是奇函数，图象关于原点对称，则 关于点 对称.

三.在三次函数图像性质应用的过程中注意数学思想方法的渗透及应用。

首先分析方程 的根的情况。

不妨设 （其图象用实线表示），则其导函数

（其图象用虚线表示），由前述三次函数的图像及性质，可得三次函数的四类图像

第I类

第II类

第III类

第IV类

结合图像，易有 （1） 若 ，则 恰有一个实根；

（2） 若 ，且 ，则 恰有一个实根；

（3） 若 ，且 ，则 有两个不相等的实根；

（4） 若 ，且 ，则 有三个不相等的实根.

上述结论对于 也成立.

通过此问题的解决，不仅是对三次函数图像性质的综合应用，更重要的是传授给学生解决数学问题的基本思想方法，一元三次方程根的讨论问题转化为利用三次函数的四类图像与X轴公共点的个数问题，是函数方程的思想，数形结合的思想、分类讨论的思想及转化化归思想的集中体现，让学生不仅掌握知识，还要学会运用方法。

四.注意培养学生把三次函数的知识与其它知识的结合。

三次函数图像性质的研究及应用是一个综合问题，在解决的过程中还会用到其它知识。比如，在确定三次函数图像的对称中心时，可以用向量知识说明函数 满足 ，则其图像关于点 对称。可以利用问题“求过曲线 上点 的切线方程”，纠正学生根据直线与曲线的个数判断直线与曲线位置关系的错误思想。另外， 是一个二次函数，对于三次函数单调性的讨论又涉及到二次方程的根的讨论问题，这又可以把三次方程、二次方程的根的分布问题解决方法统一起来。