直线与圆、圆与圆的位置关系的案例探讨

本部分内容由直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系组成. 直线与圆主要考查位置关系的判断,利用位置关系解决切线方程、公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题;圆与圆主要考查位置关系的判断及简单应用.

重点:掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法,寻求圆的弦长、切线长、圆的切线方程等问题的最优解法.

难点:圆的弦长问题,求与圆有关的轨迹问题等.

1. 判断直线与圆的位置关系的两种常见方法

(1)几何法:①确定圆的圆心坐标和半径r;②计算圆心到直线的距离d;③判断d与圆半径r的大小关系:d>r?圯相离,d=r?圯相切,d (2)代数法:①把直线方程代入圆的方程;②得到一元二次方程;③求出Δ的值:Δ>0?圯相交;Δ=0?圯相切;Δ

2. 计算直线被圆所截得的弦长的常用方法

(1)几何法:运用由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解(有关位置判断、弦长、弦心距等问题优先利用几何方法).

(2)代数法:运用韦达定理及弦长公式.

3. 解决圆与圆的位置关系问题的基本思路

(1)用圆心之间的距离d与两半径r1,r2的和或差进行大小比较:d>r1+r2?圯相离;d=r1+r2?圯相外切;r1-r2 (2)圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交所得的公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

(2012重庆)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )

A. 相离

B. 相切

C. 相交但直线不过圆心

D. 相交且直线过圆心

思索 处理判断直线与圆的位置关系问题,可以用代数法联立方程组,也可以用几何法比较点到直线的距离与半径的大小,我们应根据题目选择合适的方法. 当然,特殊的题目还有更为快捷的方法.

破解 (法一)圆心C(0,0)到直线kx-y+1=0的距离为d=■

(法二)直线kx-y+1=0恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,故选C.

过点(3,3)作圆x2-2x+y2-3=0的切线,切线方程为______.

思索 求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程:①几何方法.设切线方程为y-y■=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出. ②代数方法. 设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0求得k,切线方程即可求出. 两种方法都需注意,若只求出了一条切线方程,则还有一条斜率不存在的切线.

破解 设切线的斜率为k,则切线方程为y-3=k(x-3),即y-kx+3k-3=0,圆心到直线的距离d=■=2,得到k=■,所以切线方程为5x-12y+21=0. 当k不存在时,x=3亦为切线方程.所以切线方程为5x-12y+21=0和x=3.

(2012天津)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则AOB面积的最小值为______.

思索 本题的突破口仍然是直线与圆相交,利用几何方法中的特殊三角形得到m,n的关系式,则A,B两点的坐标可以求出,而AOB为直角三角形,面积可以用m,n表示,进而求解. 注意基本不等式的应用.

(2010山东)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆截得的弦长为2■,求圆C的标准方程.

思索 利用几何方法,由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解.

破解 设圆心为(a,0),则圆心到直线x-y-1=0的距离为d=■.因为圆截直线所得的弦长为2■,根据半弦、半径、弦心距之间的关系有■■+2=(a-1)2,即(a-1)2=4,所以a=3或a=-1(舍去),则半径r=3-1=2,圆心为(3,0). 所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.

(1)已知直线l:y=x+b与曲线C:y=■有两个不同的公共点,求实数b的取值范围;

(2)若关于x的不等式■>x+b的解集为R,求实数b的取值范围.

思索 应用数形结合方法,画出草图.注意曲线为半个圆.

破解 (1)如图1(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上的截距为b的直线l;方程y=■表示单位圆在x轴上及其上方的半圆. 当直线过B点时,与半圆交于两点,此时b=1,直线即为l1;当直线与半圆相切时,b=■,直线即为l2. 直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2),所以1≤b

(2)不等式■>x+b恒成立,即半圆y=■在直线y=x+b上方,当直线l过点(1,0)时,b=-1,所以所求b的取值范围是(-∞,-1).

已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y■-8x+15=0,如果直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,那么k的最大值是_______.

思索 本题考查圆与圆的位置关系. 圆与圆有公共点,所以位置关系为相切或相交. 设出动圆的圆心坐标,求出两圆圆心距离的范围,转化为点到线的距离.

破解 因为圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,所以圆C的圆心为(4,0),半径为1. 由题意,直线y=kx-2上至少存在一点A(x0,kx0-2),以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C有公共点,所以存在x0∈R,使得AC≤1+1成立,即ACmin≤2. 又因为ACmin即为点C到直线y=kx-2的距离■,所以■≤2,解得0≤k≤■. 所以k的最大值是■.

已知圆O的方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和圆O相切的动圆圆心的轨迹方程.

思索 利用两圆相切时圆心距与两半径和或差的关系,列出关系式.注意两种相切的形式.

破解 设动圆的圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以PA即为动圆半径. 当动圆P与圆O外切时,PO=PA+2;当动圆P与O内切时,PO=PA-2. 结合这两种情况,可得PO?摇-PA?摇=2. 将此关系式坐标化,得■-(x-4)2+y2■=2,化简可得(x-2)2-■=1.