时间：2022-08-21 04:54:20
含二元未知量的最大值、最小值问题是近年全国高考经常考查的重要内容，在全国各地的高考试卷中出现的频率都较高.本文就2013年天津市高考中的一道填空题进行研究，发现本题的知识点考查全面，方法很多，并有一定的计算量，技巧性很强，能覆盖许多章节知识点.下面笔者对这道高考试题进行剖析，供大家参考.
【高考原题】 设a＋b＝2，b>0，则当a＝_____时，取得最小值．
解法一
分析 通过探求命题的出发点，发现可将1用 代换后构造不等式求解.
解 a+b=2， 1= ，
+ = + = + + ≥ +2 ≥1- = ，当且仅当a
因此当a=-2时， + 取得最小值 .
点评 此种解法利用神奇的“1”的作用，将1代换后化简，然后利用基本不等式解决问题.此种解法两次放缩，等号同时成立，很好地处理了问题，大大简化了计算过程.
解法二
分析 降元后去绝对值讨论，转化为关于a的函数，结合不等式中的“一正二定三等”求解.
解 a+b=2，b>0，又a≠0， b≠2，b=2-a.
①当0
f（a）= + = + = + = + = + + ≥2 + = ，当且仅当 = ，即a= 时等号成立.
故当a= 时，f（a）min= .
②当a
故当a=-2时，f（a）min= .
综上，当a=-2时， + 取得最小值 .
点评 这种解法是先讨论的取值范围，然后化简为关于自变量的函数表达式，最后利用基本不等式知识求出最值.
解法三
分析 由于条件是含a，b的二元方程，求含绝对值的式子的最小值，可以先降元，然后利用等式的代换化简为关于一个元b的式子，结合基本不等式求解.
解 a+b=2，b>0，又a≠0， b≠2，a=2-b.
①当0
故当b= 时，f（b）min= .
②当b>2时，a=2-b
故当b=4时， f（b）min=，此时a=2-b=-2.
综上，当a=-2时， 取得最小值.
点评 这种解法是先讨论的取值范围，然后化简为关于自变量的函数表达式，最后利用基本不等式知识求出最值.
解法四
分析 由于条件是含a，b的二元方程，求含绝对值的式子的最小值，可以先利用均值换元，然后转化为关于一个元的式子，结合基本不等式求解.
解 令a=1+t，b=1-t. b>0， 1-t>0，得t
①当-1
②当t
综上，当a=-2时，取得最小值.
点评 这种解法是先利用均值换元法换元，然后化简为关于自变量的函数表达式，最后利用基本不等式知识求出最值.
解法五
分析 利用条件等式，可以考虑三角换元，但要注意三角换元时的技巧.
解 当0
f（α）= ，当且仅当，即a=时，等号成立.
当b>2时，令b=，得a=2-.
f（α）= +cos2α=+cos2α=+cos2α-≥2 ，当且仅当=cos2α，即a=-2时，等号成立.
综上，当a=-2时，取得最小值.
点评 这种解法是先利用三角换元法换元，然后化简为关于自变量α的函数表达式，最后利用“1”的代换即sin2α+cos2α=1和基本不等式知识求出最值.
解法六
分析 考虑到b>0，发现与同号，可利用绝对值的重要性质求解.
解 b>0， 与同号，于是
≥ ≥2，当且仅当a=-2时，等号成立.
因此，当a=-2时，+取得最小值.
点评 此种解法注意到绝对值等式的一个重要性质，即当ab≥0时，|a|+|b|=|a+b|，简化了运算，快速得出正确结论.
解法七
分析 由于条件是含a，b的二元方程，求含绝对值的式子的最小值，可以先利用均值换元，然后转化为关于一个元的式子，结合导数知识求解.
解 a+b=2，b>0，又a≠0， b≠2，b=2-a.
①当0
f ′（a）=- .
令f ′（a）=0，得a=.当a∈（0，）时，f ′（a）
当a∈（，2）时，f ′（a）>0.
故当a=时，f（a）min=.
②当a
f ′（a）=
令f ′（a）=0，得a=-2.当a
故当a=-2时，f（a）min=.
综上，当a=-2时，取得最小值 .
点评 这种解法是先讨论a的取值范围，然后化简为关于自变量a的函数表达式，最后利用导数知识求出最值.
解法八
分析 由于条件是含a，b的二元方程，求含绝对值的式子的最小值，可以先利用均值换元，然后转化为关于一个元b的式子，结合导数知识求解.
解 a+b=2，b>0，又a≠0， b≠2，a=2-b.
①当0
f ′（b）=，令f ′（b）=0，得b=.
当b∈（0，）时，f ′（b）0.
故当b=时，f（b）min= .
②当b>2时，a=2-b
f ′（b）= ，
令f ′（b）=0得b=4.当2
故当b=4时，f（b）min=，此时a=2-b=-2.
综上，当a=-2时， + 取得最小值 .
点评 这种解法是先讨论b的取值范围，然后化简为关于自变量b的函数表达式，最后利用导数知识求出最值.
解法九
分析 数形结合是重要的解题思想，根据题意化简后作出函数的图形，从图形直观地求解.
解 b>0， 与 同号，于是
作出函数的图象如右图所示，
当且仅当a=-2时， + 取得最小值 .
点评 此种解法先变形化简后作出图象，可以很直观地得出答案，缺点是学生考试时难直接绘出该函数的图象，不过如果化简后函数比较简单，用这种方法解题则快捷准确.
以上专门对这道高考填空题进行了一题多解，从不同的思维角度展开分析，进行了详细的解答和必要的点评.类似的这种题还很多，同学们可以从中举一反三，总结知识点和解题规律与方法.（编辑 孙世奇）