激活三个关系简解立几问题

点、直线、平面是组成几何体的基本元素，它们之间的关系，主要就是空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定和性质，这是整个立体几何的基础，是立体几何中推理和计算的基础，是培养空间想象能力的主要载体，更是历年高考的必考内容之一.近年来这方面的高考试题的题型基本趋于稳定，难度属中等偏易，大部分同学理应能得到高分或满分，但从高考阅卷现场反馈回来的信息来看，有相当一部分的考生未必能拿到理想的高分.究其原因，主要是厘不清点、线、面之间的关系，没有空间概念，从而抓不住解题的关键.面对高考试题，不是束手无策，就是乱解一气，费时费力，劳而无功.

为解决上述问题，搞好立体几何的复习，要激活点、线、面之间的三个关系，厘清直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直的判定和性质，快速、简捷地求解立体几何试题.

一、理解三个关系，掌握十四个定理

空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系主要有三个关系，十四个定理或性质.

三个关系：平行的传递关系，垂直的传递关系，平行与垂直的转化关系，所有位置关系的基础是线线之间的平行与垂直.它们通过下面的十四定理进行传递或转化，由线线线面面面的位置关系常用的是判定定理，反之，由面面线面线线的位置关系常用的是性质定理，它们之间的关系如下图所示.

说明：（1）图中的定理①②③④⑤是平行与垂直的判定定理；定理⑧⑨⑩是平行与垂直的性质或一些位置关系的性质定理，它们之间是平行、垂直关系的直接传递关系；定理⑥⑦是平行与垂直的转化关系，平行转化为判定垂直或由垂直转化为推出平行.

（2）凡是箭头指向某一位置关系，就是证明或判断这个位置关系的一个方法，有几个箭头指向这个位置关系，就有证明判定这个位置关系的几个方法.一般拿到一个证明或判定位置关系的题目，对照关系图，方法和思路很快就能找到.

（3）十四个定理附录如下：

定理①：直线和平面平行的判定定理；

定理②：平面与平面平行的判定定理；

定理③：定理②的推论；

定理④：直线与平面垂直的判定定理；

定理⑤：平面与平面垂直的判定定理；

定理⑥：两条平行线的一条垂直一个平面（直线），那么另一条也垂直这个平面（直线）；

定理⑦：垂直于同一条直线的两个平面平行；

定理⑧：两个平面互相平行，那么在一个平面的任何一条直线都平行另一个平面；

定理⑨：直线与平面平行的性质定理；

定理⑩：平面与平面平行的性质定理；

定理：平面与平面垂直的性质定理；

定理：由线面垂直的定义推出的性质，若线面垂直，则线线垂直；

定理：一条直线（平面）垂直两个平行平面的一个平面，那么它也垂直另一个平面；

定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

所有这些位置关系中，线线关系是一切位置关系的基础.要得到直线与直线的平行，如在同一平面中，由平面几何中的定理来推出，在空间、有公理4和图表中的定理⑨、⑩、都可以得到.要得到直线与直线垂直，一是由两直线成角90°，则两直线垂直，二是由定理可堆出，三是三垂线定理或三垂线定理的逆定理（适用理科）都可以推出直线与直线的垂直.

二、激活三个关系，简解立几问题

立体几何中的位置关系的判定或证明，根据求证想判定的条件，再根据已知想性质，从而找到判定的条件，如果从性质中不能直接找到判定的条件，就需要添加辅助元素，架起已知和求证之间的桥梁，或者运用曾经学过的知识帮助解决，只要激活三个关系，就可以快速简捷地求解决立体几何问题.例如，要求证线面平行，根据关系图，只有两种方法，一是用定理①，找平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；二是用定理⑧，若无法找到直线和平面内的一条直线平行，那就根据已知条件先证两个平面平行，再推出线面平行.又如，证明平面与平面垂直，只有一种方法，就是用定理⑤，在一个平面内找到一条直线垂直另一个平面即可.（说明一下，本文涉及位置关系的证明，一般没有包括用有关定义来证明）所以要证有关问题，首先在关系图中找到证明的几种方法，然后根据已知条件确定用一种或两种方法完成证明.凡是要证明一个位置关系，判定的条件一个也不能少，少一个条件就得不到正确的结果.

例1（2013年广东卷）设l为直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确是（）.

（A）若l∥α，l∥β，则α∥β

（B）若lα，lβ，则α∥β

（C）若lα，l∥β，则α∥β

（D）若αβ，l∥α，则lβ

分析：本题主要考查线面位置关系的基本知识，考查考生的空间想象能力和推理论证能力.

解：由于题目是四选一的选择题，而且题中的位置关系较多，若一个一个地推理判断，费时费力收效甚微.拿起关系图，对照有关位置关系，凡是符合定理的，一定正确.选项B符合定理⑦，B正确，故选B.

例2若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）.

（A）若α∥β，mα，则mβ

（B）若m∥n，mα，则nα

（C）若m∥α，mβ，则αβ

（D）若α∩β=n，且n与α，β所成的角相等，则mn

分析：判断直线与平面，平面与平面的位置关系是否正确，最快速有效的办法是看它是否符合有关位置关系的定理；要否定一个位置关系常用特例或反例即可.

解：根据本文给出的位置关系图，由定理可知，选项A正确；由定理⑥可知，选项B正确；对于选项C，则需要联合运用有关定理才能判断，首先由定理⑨知，α内有直线m′∥m，其次由定理⑥知，m′β，最后由定理⑤判定αβ，所以选项C正确，由此可知选项D不正确，故选D.要判定选项D不正确也可用特例，当m∥n时，n∥α，n∥β，则直线n与α，β所成的角都是0°，也相等，但m，n不垂直，D不正确.

说明：熟练掌握空间直线、平面位置关系的定理，是正确判定各种位置关系的有效、快捷的方法.

例3（2013年北京卷）如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别图1为CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA底面ABCD；

（Ⅱ）BE∥平面PAD；

（Ⅲ）平面BEF平面PCD.

分析：本题三个小题分别求证线面垂直，线面平行、面面垂直这三个重要位置关系，意在考查考生的空间想象力和推理论证能力.利用关系图，寻找证题方法和思路，由面面垂直的性质定理可得线面垂直；由定理①知，只要在平面PAD中找一条直线和BE平行，或由定理⑧只要证得平面BEF∥平面PAD，即得BE∥平面PAD；由定理⑤知，只要在一个平面内找到一条直线垂直另一个平面，问题就解决了.

证明：（Ⅰ）平面PAD平面ABCD，PAAD，AD=平面PAD∩平面ABCD，PA平面ABCD.

（Ⅱ）AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，

AB=DE，且AB∥DE，

四边形ABED为平行四边形.

BE∥AD.

又AD平面PAD，BE平面PAD，

BE∥平面PAD.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，PA平面ABCD，且CD平面ABCD，PACD.

由（Ⅱ）知，BE∥AD，又AB∥CD，ABAD，CDAD，BECD.

又AD∩PA=A，CD平面PAD.

PD平面PAD，CDPD.

E，F分别为CD，PC的中点，

EF∥PD.

EFCD.

EF∩BE=E，CD平面BEF.

又CD平面PCD，

平面BEF平面PCD.

例4（2013年广东卷）如图2，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC边的中点，AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起，得到如图3所示的三棱锥A-BCF，其中BC=1212.

（Ⅰ）证明：DE∥平面BCF；

（Ⅱ）证明：CF平面ABF；

（Ⅲ）当AD=213时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.

分析：本题主要考查线面平行和线面垂直，利用关系图，可用定理①和定理⑧证DE∥平面BCF；用定理④证CF平面ABF.至于求三棱锥的体积只要找到相应的底面积和高，代入公式计算即可.

解：（Ⅰ）证明：在等边ABC中，AB=AC，AD=AE，AD1DB=AE1BC，

DE∥BC，DG∥BF，GE∥CF.

将ABF沿AF折起后，如图3，仍有DG∥BF，且DG平面BCF，BF平面BCF，

DG∥平面BCF.

同理GE∥平面BCF.

又DG∩GE=E，

平面DGE∥平面BCF.

DE平面DGE，DE∥平面BCF.

（Ⅱ）证明：在等边ABC中，F是BC的中点，AFCF，BF=FC=112.

在图3中，BC=1212，

BF2+CF2=BC2，故∠BCF=90°.

CFBF.

又AF∩BF=F，CF平面ABF.

（Ⅲ）AD=213，AB=1，AF=1312，

DB=113，FG=113AF=1316.

DG=GE=213BF=113，且DGAF.

在图3中，DGF是直角三角形.

SDGF=112FG・DG=13136.

CF平面ABF，GE∥CF，

GE平面ABF.

GE为三棱锥E-DGF的高.

VF-DEG=VE-DGF=113SDGF・GE

=113・13136・113=131324.

说明：平面图形的翻折问题，是立体几何中的一个重要题型，是考查空间想象力，转化与化归、推理论论能力的极好题型.解决此类问题的方法如下：（1）画好翻折前、后的两个图形；（2）仔细分析翻折前后有关元素的位置关系和数量关系的变化情况；（3）寻找变化了的元素与没有变化的元素之间的联系，用没有变化的元素去求出变化了的元素.