用VB实现测井曲线的分形插值

摘要：分形几何是一门新兴边缘学科，它是研究自然界中不规则、复杂现象的强有力工具。通过对分形的维数、几何特征、迭代函数系进行初步探索和研究，建立了油井测井曲线的分形插值函数和分数维，并用Visual Basic语言实现了油井测井曲线的分形插值，有效提高了测井曲线的分辨率。

关键词：分形；插值；测井曲线；不规则；分数维

中图分类号：TP312;0159文献标识码：A文章编号：1009-3044(2011)12-2835-02

Fractal Interpolation of Logging Achieved by Using VB

GONG Xue-cheng

(Tuha Oil Field Company, Shanshan 838202, China)

Abstract: Fractal geometry is a new interdisciplinary, it is a powerful tool for studying the irregularnature, complex phenomenon in nature. This paper has carried out a preliminary exploration and research from the fractal,s dimension, geometry and iterated function system; established the logging,s fractal interpolation function and thefractal dimension,and also achieved Oil well logging,s fractal interpolation by using visual basic languagel;has improved the resolution of the logs effectively.

Key words: fractal; interpolation; logging; irregular; fractal dimension

1 分形简介

分形的英文为Fractal，是由美籍法国数学家曼德勒罗（Binoit Mandelbrot）创造出来的。此词源于拉丁文fractus，对应的拉丁文动词是frangere（破碎、产生无规则碎片）。曼德勒罗是想用此词来描述自然界中传统欧氏几何学中所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象。其实自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。如物理学中的湍流、、海岸线的形状、一片森林、非均质地层的各项地球物理参数、九曲回肠的河流等。而对这些现象的描述和研究就必须用分形几何的方法。1975年，曼德勒罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》（Let objects fractals:forme,hazard et dimension）,标志着分形理论的正式诞生。

1.1 分形的维数

分维是用来把握分形体基本特征的变量。在欧氏几何中，点是0维，线是一维，面是二维，空间是三维。一条线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的，六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式: log4/log2=2log8/log2=3 如图1，分数维示意图。

这里的2和3不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。即如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b，D就是维数，即D=logb/loga。回到海岸线长度的问题，当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为2.7，而log2.7/log2=1.41，1.41就是英国海岸线的维数。 1.41由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的基本参数之一。

1.2 分形的几何特征

分形作为几何对象，首先是破碎的、不规则的，但不是所有破碎的、不规则的形状都是分形。一般来说分形集满足以下条件。

1）分形具有自相似性，可能是近似的自相似或统计的自相似。

2）自仿射性。

3）精细结构，即具有任意尺度下的比例细节。

4）由于具有自相似，分形集合都可以由迭代产生。

2 分形插值的数学模型

我们常用一个数学系统即迭代函数系IFS（Iterated function system）去研究构造一大类存在于自然界的具有自相似性、标度不变性结构的分形。

1）仿射变换

仿射变换就是一种实现几何变换的公式，它可以按比例放大或缩小图形，使图形旋转或位移 。一个变换ω：R2―>R2的形式为：

其中：a,b,c,d,e,f均为实数，则称ω为二维仿射变换。其实任何图形都可以通过一系列的仿射变换重新绘制出来，关键在于选择什么样的仿射变换。

2）收缩映射

设（X，d）是一个距离空间，对于映射ω：X―>X,若存在一个系数s(s∈[0，1])，使得对于所有x，y∈X有下式成立：d(ω(x), ω(y))

3）迭代函数系统

迭代函数系统是完备度量空间（X，d）上的一组有限的收缩映射ωn：X―>X，n=1,2,…,N;每个收缩映射ωn的收缩因子是sn。常用记号IFS来表示迭代函数系统（这里定义的迭代函数系统称为双曲的迭代函数系统，即变换是收缩的）。形式如下：

i=1,2…,N

收缩仿射变换在数学意义上具有收敛性质，其变换结果总终将趋于稳定。

4）分形插值数学模型

依据拼贴定理，存在一个迭代函数系统{X；W0，ω1，…，ωn}其吸引子A近似与或相似于一个给定的集合L。也就是说对于一副任意给定的有限边界的图形，总可以找到一组变换{W0，ω1…，ωn}，使得给定的集合L在这组变换下的象的并或拼贴近似于给定的集合L。

现在构造一个迭代函数系统{R2；ωi ，i=1，2，…n}，使得这个迭代函数系统吸引子等于插值函数f(x)的图形。设迭代函数系统{R2；ωn ，I=1，2，…n}中每个函数ωn 是仿射变换，其构造为：

ωi：R2―>R2 i=1,...,n

该IFS的求取是通过拼贴完成的，即满足如下条件

ωi： ωi： i=1,…，n

对于每个仿射变换ωi,有ai,ci,di,ei,fi等5个常数，取di为自由变量，并称之为垂直尺度因子。令di是任意一个限定的实数，则ωi的其它系数可以表示为

可以证明此定义求取的IFS总有唯一的吸引子，且该吸引子必定是某个连续函数的图形，并同时通过各个插值点，而这个连续函数就称为分形插值函数。

3 分形插值算法的实现

根据分形的数学模型就可以实现对离散的点进行分形插值的计算机编程。鄯善油田属于非均质地层，地层的各项物理参数在平面和剖面上显示出了很强的非均质性即具有分形特征，运用分形插值算法就可以实现测井曲线的二维平面分形插值。

3.1 程序框图

根据以上所述，绘制的程序框图，如图2，分形插值算法框图。

3.2 插值结果

程序中取鄯善油田**井3000米到3050米的的测井资料，按照每1米一个点进行绘制的原始图和分形插值后的曲线如图3所示：从图3可以出分形插值后的测井曲线精度更高，更能反映出地层的特点，如图3，插值结果。

4 结束语

目前分形技术在油田勘探与开发、测井、地理信息系统、石油地质、产量预测等方面都得到了广泛的应用。由于鄯善油田地层平面、剖面的非均质性，使分形技术在鄯善油田动态分析中的应用成为可能，例如可以根据IFS算法求得任何一段测井曲线的分数维，结合阿尔奇公式判定地层的孔隙特征、可以运用分形插值提高测井曲线分辨率、运用分形进行剩余油分布的研究等等。随着研究的深入，这门新兴的技术将会在鄯善油田的开发中得到很好的应用。

参考文献：

[1] 刘华杰.分形艺术[M].长沙:湖南音像出版社,1997.

[2] 唐荣锡.现代图形技术[M].济南:山东科学技术出版社,2001.