谈勾股定理的应用

勾股定理是数学中的一条重要定理,在解决直角三角形问题中,可以说它无处不在.但是,在实际解题过程中,常常受思维限制,造成错解,以下三例供大家参考,以免误入歧途.

例1、如图1,点 分别把正方形ABCD四边AB、CD、BC、DA分成m:n两段.若AB=1,则四边形 的面积是( )

A、m2+n2 B、 2 C、 2 D、

错解:选(A).

剖析:本题出错的原因是把"一点将线段分成m:n两段"错误理解成"一点把一条线段分成长为m、n两段"了,于是就得出了四边形ABCD的面积是m2+n2这样一个错误的结果.

正解:选(D)

这是因为,由题意知AB=1,且AA/:BB/=m:n,则AA/=

A/B= ,故A/B/ 2= + =

例2、在梯形ABCD中,AD//BC,AC= ,BD= ,中位线MN= ,求梯形ABCD的面积.

错解:过点D作AC的平行线交BC的延长线于E.(如图2)

AD//CE,DE//AC

四边形ACED是平行四边形

DE=AC= ,CE=AD

BE=BC+CE=BC+AD=2MN=

BDE的三边长分别为 , , ,

BDE是一个直角三角形.

又ADB中AD边上的高与DCE中CE边上的高相等.

SABD=SDCE

S梯形ABCD=SBDE= BD DE= .

剖析:在上述解答中,有BDE的三边长分别是 , , 推得BDE是直角三角形是错误的,因为 + ≠ 这种错误的形成主要是因为有了"三边是3、4、5的三角形是直角三角形"的印象,以致得出了错误的结果.

正解:

过点D作AC的平行线交BC的延长线于E.(如图2)

AD//CE,DE//AC

四边形ACED是平行四边形

DE=AC= ,CE=AD

BE=BC+CE=BC+AD=2MN=

作DFBE垂足为F,则DF2=DB2-BF2=DE2-EF2,

即 - = -EF2

EF= ,于是DF= .

又ADB中AD边上的高与DCE中CE边上的高相等.

SABD=SDCE

S梯形ABCD=SBDE= BE DF= .

例3、设直角三角形三条边之比为1:2k : 3k2,求k的值.

错解:设直角三角形三边长分别为x,2kx,3k2x,则由勾股定理,得:

X2+4k2x2=9k4x2,即9k4-4k2-1=0

解得:k2= 或k2=

k= 或k=

k= 即为所求.

剖析:错解仅认为3k2x为斜边,忽略了2kx , x 也可能是斜边的情况.

正解:设直角三角形三边长分别为x,2kx,3k2x,则:

(1) 当3k2x为斜边时,同错解.

(2) 当2kx为斜边时,有X2+9k4x2=4k2x2,即9k4-4k2+1=0,此方程无解.

(3) 当x为斜边时,有 x2=9k4x2+4k2x2,即9k4+4k2-1=0,

解得:k2= 或k2=

k= 或k=

综上所述,k的值应为 或 .

总之,解题时,需要仔细观察题目的特点,深入挖掘其内涵条件,构造出符合条件的直角三角形,力求得到简便、巧妙的解答.