对江苏省一道高考填空题的解法探究

解三角形及其应用是三角形中重要问题，也是高考热点问题。江苏省2010年数学高考试卷填空题的倒数第二题就是解三角形的题目。

题目：在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且

，则 =____________。

一、常规思路

对于这样题目中既有角又有边的，一般是用正、余弦定理把角化边或者是边化角，这是最自然的想法，也是考场内大部分考生的首选。

解法1： 化角为边。

这样就转化为探索c2与a2+b2的等量关系，把条件

化边后：

于是a（a2+b2）=3c2，则=4

解法2：化边为角。

由上面解题可知：

再把条件化角：，

即sin2A+sin2B=6sinAsinBcosC，又a2+b2-c2=2abcosC，由正弦定理得：sin2A+sin2B=2sinAsinB+sin2C， 从而sin2C=4sinAsinBcosC，所以原式=

二、特殊化思想

对于填空题这样的小题，可以用赋特殊值的方法，一般情形成立，特殊情形也成立。取特殊值，易计算，减少了失分的危险，从而达到事半功倍的效果。赋值也可以从边和角两个方面进行赋值。

解法3：对角赋值，令c= ，则cosC=，条件式可化为：

，a2+b2=3ab，由余弦定理a2+b2=c2+ab，得a2+b2-c2=2ab。所以c2+ab=3ab，c2=2ab。即sin2C=2sinAsinB= ，sinAsinB=

又

解法4：对边赋值，令a=b=1，则cosC= ，由c2=a2+b2-2abcosC

得c2= ，

三、数形结合

“数形结合”作为数学中一种重要思想方法，在高中数学中占有极其重要的地位，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，从而突破难点。

解法5：如图：作BHAC交AC于H，则b=AH+CH=ccosA

+acosC，同理a=ccosB+bcosC，代入

得

于是 ，

所以 ，

将上式两边同时除以cosC得 =4

本题还有其他一些解法，在此不再一一列举。

本题表述简洁，综合考察了正、余弦定理、两解和与差的公式、三解函数的定义等相关知识及数形结合、转化、特殊化等数学思想。是一道既考查知识能力又具选拔功能的好题。

在数学教学中，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题。重视解题教学，恰当的选用一题多解的教学方法，通过一个问题的讲解促进学生对一类问题的解决，在新课程背景下具有重要意义。