寻找最优的解题方法

数学是思维的“体操”，问题是数学的“心脏”，解题则是提高数学水平的重要途径.学生正是通过一个一个的解题，使思维能力得到一步一步的提高.在解题过程中，若能追求解题的最优化，则一方面可以提高思维的深刻性，另一方面也给学生以美的熏陶，让学生深切感受到数学的奇妙，领悟到数学的真谛，激发学生更加喜爱数学，激励更多的人从事数学研究.下面仅以函数、不等式、数列等方面的内容加以说明.

一、 变换思维角度

不少问题按一般思维方法，往往会束手无策或者是计算量偏大，但如果我们运用“正难则反”、逆向思维等手段改变思维角度，则往往能起到“柳暗花明”之功效.

例1：等差数列{a}中，d=，a=，S=-，求a及n.

[分析]通常可以列出关于a、n的方程组解决，相对稍繁.但如果变换一种角度，进行逆向考虑，把a看作第一项，则a为最后一项，公差为-，就简单多了.

事实上，-=n×+×（-）？圯n=10，则a=-3.

例2：若ΔABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，求证：∠B

[分析]由题意=+，要证∠Ba，b>c，>，>，+>，即得矛盾.真是令人大开眼界.正如牛顿所说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”

例3：已知=（，），=（，），求+与-2（-）的夹角.

[分析]一般思路：易知

||=||=1，·=0，cosθ==-，

而+=（，），-=（，）计算量偏大.

如果改进计算方法，则可简化计算：

|+|===2，同样|-|=2，则cosθ=-，又0°≤θ≤180°，θ=120°.

思考：如果从图形上考虑，则可显而易见：注意到||=||=，||=||=1，以，为边作出的平行四边形为矩形，∠OAB=30°，易知所求角为∠BOC=120°.

启发：向量问题有时根据具体情况可利用几何意义，如平行四边形法则、三角形法则、共线、长度、平面几何结论，从图形入手，往往可起到化繁为简的作用.

二、变更问题方式

如果一个问题难于解决，我们就可以将其转化为它的等价命题，或者利用反演原则转化为其他领域问题，必要时甚至可以强化结论，从而较好地解决问题.

例4：已知函数f（x）=（1+）-2（x≥-2），求方程f（x）=f（x）的解集.

[分析]按常规思维，须求出f（x），一步一步去解.如果我们将问题变更为：等价于解方程f（x）=x，则易得x=±2.

例5：已知函数f（x）=-，（1）证明f（x）存在反函数并求出其反函数；（2）证明f（x）的反函数图像与直线y=x无交点.

[分析]（1）即证a≠b时f（a）≠f（b），正面直接证明较困难.若改为证它的逆否命题：若f（a）=f（b）则a=b，则不太困难.事实上，令f（a）=f（b），即-=-，变形得（-）（1+）=0？圯==a=b，不难求得f（x）=（x+）.

（2）若直接由f（x）与y=x联列方程组，则计算量较大.这里若注意到一个函数与其反函数图像之间的关系，只需证明原函数f（x）与直线y=x无交点即可.

f（x）=-y=x？圯x（1-）=1，当0

当x≥1时，x（1-）≤0，得x（1-）=1，均无解，则方程组无解.

三、一般、特殊灵活用

特殊与一般是辩证统一关系，特殊蕴含于一般之中，一般包含特殊.我们可以从特殊入手，从简单做起，寻找一般的规律，或者是否定一般性；也可以从一般性入手，反过来解决特殊性问题.

例6：（1）已知数列{c}中，c=2+3，数列{c-pc}为等比数列，求常数p；

（2）设{a}、{b}是公比不相等的两个等比数列，c=a+b，证明{c}不是等比数列.

[分析]（1）一般做法是利用任一项是前后两项的等比中项（第二项起），建立恒等关系，再化简，但化简的计算量偏大，一般学生难以完成.但如果灵活运用一般与特殊的关系，首先前三项必须成等比，即可求出p.然后验证，即利用必要条件解题.事实上，前三项为13-5p，35-13p，97-35p，则（35-13p）=（13-5p）（97-35p），得p=2或p=3，容易验证适合，计算量明显减小.

（2）仿（1）同样只需考虑前三项c=a+b，c=ap+bq，c=ap+bq（记公比分别为p、q），易证得c≠cc，否则不难推出（p-q）=0？圯p=q，从而矛盾.故前三项不能成等比，因而{c}不是等比数列.

例7：已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）= .

[分析]用死算的方法当然能求，但比较耗时.我们将其一般化：考虑到f（x）+f（）=1，则易得原式=f（1）+3=

再如：已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β都是非零实数，又知f（2003）=-1，求f（2004）.只要将其一般化，研究f（x）与f（x+1）的关系即可.

四、用好数学思想方法

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，用好数学思想方法则能更有效地指导解题，提高解题有效性，做到高瞻远瞩.

例8：等差数列{a}中，a=13，S=S，问前多少项和最大？

[分析]此题一般方法当然能解，但若能从函数观点尤其从图像角度出发，则会异常简单.

S=na+d=An+Bn，A=

例9：当1b.

[分析]此题虽然叙述简单，但一般方法并不太好着手.两边取对数试试看：

即证（b-1）lga>（a-1）lgb，即证>（*）

这自然联想到数形结合，即比较斜率大小.考察函数y=lgx，A（1，0）、B（a，lga）、C（b，lgb），B、C两点在图像上，b>a>1，由图像知k>k，即（*）成立，原不等式得证.（见图2）

例10：若|a|

[分析]运用分类讨论，则有意想不到的效果.

若（a+b）（a-b）≥0，则|a+b|+|a-b|=|（a+b）+（a-b）|=2|a|

若（a+b）（a-b）

证毕.

例11：抛物线x=8y的焦点为F，点M（-2，4），P为抛物线上的一点，求P点坐标，使得|PM|+|PF|最小.

若以常规设法，设P（x，y）为抛物线上的一点，则|MP|+|PF|=.显然，这与简单性是背道而驰的，可以说此路繁琐之极.

考虑到数形结合，由定义可知，|MP|+|PF|=|PM|+P到准线的距离，如图3，易得P点坐标为p（-2，）.这个解法巧妙，简捷，合理，优美.

又如：求cos+cosπ+cosπ的值.

解：按常规的方法是用三角变换，乘以后积化和差，逐步变换得结果，另外，还可以用二项方程x-1=0的复数根的实部之和为零来解，最佳的方法是化为cos-cosπ+cosπ，作等腰三角形ABC（如图4），使∠A=，AB=AC=1，BC=x，在∠ABC内作∠DBC=π，则AD=BD=1-x，BC=CD=x，cos=，cosπ=，cosπ=，又对BCD用余弦定理，则易得结果为.