时间：2022-08-17 08:43:56
摘 要:对于系数为变数的二阶偏微分线性方程,人们仅找出了在一点处将其化简成为标准形的方法,这显然是不够的。本文给出在一点的邻域内将其化简成为标准形及最简形的方法的一个充分条件.
关键词:二阶偏微分线性方程 正则变换 可逆线性变换 标准形 最简形
中图分类号:O14文献标识码:A 文章编号:1007-3973 (2010) 05-072-02
二阶偏微分线性方程的化简是研究数学物理方程的重要内容。对于系数为变数情形,人们仅找出了在一点处将其化为标准形的方法,这显然是不够的.本文给出在一点的邻域内将其化简的一个充分条件。
含n个自变量x1,x2……,xn的二阶偏微分线性方程的一般形式为
其中二阶项系数矩阵为非零对称矩阵;均为自变量的已知函数;向量称为一阶项系数向量.形式为
的二阶偏微分线性方程称为标准形。
1正则变换化简定理
设变换
在某点的邻域内,对于变换(3),如果二阶偏导数
均存在且连续,且耶可比矩阵
的行列式不等于零,则称其为从x1,……,xn到y1,……,yn的正则变换。
由此知可逆线性变换是正则变换。由隐函数存在性定理知正则变换必有逆变换。
定理1 如果二阶偏微分线性方程(1) 的二阶项系数矩阵A在某区域内连续可微,则
(i)在自变量的适当范围内,存在矩阵A到规范形的相合变换矩阵P=(pij),即其使得
其中分别是阶单位矩阵。
(ii)如果上述矩阵P=(pij)连续可微,且使方程
有解则由其确定的变换(3)是正则变换.
(iii)用由(ii)确定的变换(3)可将方程(1)化为标准形(2)。其中一阶项系数向量为
证 (i)由代数学即知。(ii)由定义即知。(iii)由(5)及链导法则,得
将其代入方程(1),并用乘积矩阵PAPT的(l,m)元为 及式(4),得
例1将下面二阶偏微分线性方程用正则变换化为标准形
解 这个方程的二阶项系数矩阵为
用代数方法,可求得其规范形C以及从 到C的一个相合变换矩阵J分别如下
分别用J的各行为系数作下列方程组
解之,得所需正则变换
方程(7)作此变换,得标准形
2可逆线性变换化简
定理2 对于二阶偏微分线性方程(1) ,如果其二阶项系数矩阵A为常数矩阵,则存在可逆数字矩阵P使得式(4)成立.将方程(1)做可逆线性变换
则得标准形(2).后者的二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为 其中b为方程(1)的一阶项系数向量。
证 用定理1即知。
例2 用可逆线性变换将二阶偏微分方程化作标准形。
解 其二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为
将矩阵A化作规范形,可得矩阵
使得PAPT=C.由定理2知,做可逆线性变换
则方程被化为标准形,其二阶项系数矩阵及一阶项系数向量依次为
故方程的标准形为
3转化化简
如下形式的二阶偏微分线性方程标准形
称为最简形。
定理3 在标准形(2)中,如果 均为可微函数,且将yr+1,…,yn均当作常数时,方程
存在可微解w=w(y1,y2,…,yn).做代换
则可将标准形(2)转化为新函数的最简形。其中
证 将代换(10)求偏导数,用式(9),得
将以上各式代入方程(2) ,整理即可得最简形及式(11)、(12)。
例3将标准形转化为最简形。
解由知,可取,令。用定理2.5中的公式计算,得最简形
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