时间：2022-08-17 03:39:54
主 讲：许志锋
中学高级教师，台州市教学能手，拥有20余年高三教学经验，参加过“国家级骨干教师”培训并被授予合格证书.
推荐名言
数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏得极深．
――卡尔・弗里德里希・高斯 （德国数学家，发现了质数分布定理和最小二乘法，被誉为“数学王子”）
上期内容中所谓的“题外有题”，其实就是指如何将ln（1+x）>（x>0）演绎推理至19＜的问题：第一步，将目标19＜调整为1+19>e2；第二步，把指数式转化为对数式ln1+>；第三步，对ln（1+x）>取特殊值x=，恰好有ln1+>，问题顺利解决． 显然，求同思维贯穿于整个解题过程．通俗地讲，这就是“瞧着走”，对目标不等式进行等价变形，使它跟已证的函数不等式“同构”．但有的时候，要找到函数题中各个小题之间联系的难度更大，这时，我们就该采取“走着瞧”的策略． 现在，我们就以2011年高考数学湖北卷（理科）第21题为例进行讲解．
例 （1） 已知函数f（x）＝lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；
（2） 设ak，bk（k=1，2，…，n）均为正数，证明：
①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则a1b1・a2b2・…・anbn≤1；
②若b1+b2+…+bn=1，则≤b1b1・b2b2・…・bnbn≤++…+．
问题（1）解答
f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=-1．令f′（x）=0，解得x=1．当01时， f′（x）
问题（2）解答
问题（１）的结论 f（x）max=0实际上证明了一个不等式：lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（①）．
所以，解答问题（２）的关键在于：如何对题中的数列不等式进行变形，使①式能有“用武之地”？
题①分析：从条件a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn出发来考虑问题显然比较困难，我们可以尝试从结论出发． 由于a1b1・a2b2・…・anbn≤1是指数不等式，而①式是对数不等式，故应先将a1b1・a2b2・…・anbn≤1等价转化为b1lna1+b2lna2+…+bnlnan≤0（②）．运用①式，将lna1≤a1-1，lna2≤a2-1，…，lnan≤an-1代入②式，只要能证明b1（a1-1）+b2（a2-1）+…+bn（an-1）≤0，即可证明a1b1・a2b2・…・anbn≤1． 化简b1（a1-1）+b2（a2-1）+…+bn（an-1）≤0，可得a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，而这就是题目的条件！题①得证．
题②分析：除了考虑①式，我们更应考虑用题①的结论来证明题②，因为这两者更接近．
先证明b1b1・b2b2・…・bnbn≥．为了与a1b1・a2b2・…・anbn≤1同构，可先将b1b1・b2b2・…・bnbn≥变形为・b1・b2・…・bn≤1．麻烦来了，如何将这个“多余”的“渗透”到b1・b2・…・bn中呢？
同学们都有逆代的经验，由于b1+b2+…+bn=1，所以可看做.由于=b1b2・…・bn，所以・b1・b2・…・bn≤1可转化为b1・b2・…・bn≤1，这就与题①的结论a1b1・a2b2・…・anbn≤1完全同构了！其中，a1=，a2=，…，an=．
将a1=，a2=，…，an=代入a1b1+a2b2+…+anbn，可得a1b1+a2b2+…+anbn=++…+=1=b1+b2+…+bn. 根据题①的结论“若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则a1b1・a2b2・…・anbn≤1”，可知b1・b2・…・bn≤1成立，即b1b1・b2b2・…・bnbn≥成立．
同样地，要证明b1b1・b2b2・…・bnbn≤++…+，可将不等式看做b1b1・b2b2・…・bnbn≤（++…+）b1+b2+…+bn． 为了与a1b1・a2b2・…・anbn≤1同构，可将不等式转化为b1・b2・…・bn≤1 （③），只要证明③式,即可证明b1b1・b2b2・…・bnbn≤++…+.
令ai=（i=1，2，…，n），显然有a1b1+a2b2+…+anbn＝＝1=b1+b2+…+bn．根据题①的结论“若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则a1b1・a2b2・…・anbn≤1”可得b1・b2・…・bn≤1，即b1b1・b2b2・…・bnbn≤++…+ 成立.
题②得证．
点 评
与其说解答问题（２）需要运用问题（１）的结论，倒不如说问题（１）就是因问题（２）的需要而设置的“引子”． 所以，解决函数问题“题外有题”的策略，就是本着同构的目的逆向思考，执果索因． 当然，有了总体策略并不意味着能够成功实施，高考数学压轴题不仅会考查中学数学的基础知识和基本技能，也会考查数学思想方法.
上述解答中最难的一步就是用代替，要迈出这一步，需要足够的经验和敏锐的观察力．没有日积月累，便谈不上熟能生巧．
练一练
已知g（x）=ln，求证：g（k）>．
参考答案
证明： g（k）=ln+ln+ln+…+ln=ln・・・…・＝ln=-ln．题目转化为证明ln< （①）．
n2+n=n（n+1）， ①式两边均可看做关于的函数．由题意可知≥3.为了在解题中运用导数判断函数的单调性，应当令自变量在［3，+∞）上连续取值． 设t=（n≥2，t≥3），题目转化为证明lnt＜（t≥3）（②）．
构造函数F（t）=lnt-，并在区间［3，+∞）上讨论其单调性．
F′（t）＝-+＝． t>0，+＞2， F′（t）＜0， F（t）在［3，+∞）上单调递减． 又F（3）=ln3-＜ln10-＜0， F（t）=lnt-＜0 （t≥3），②式成立. g（k）>得证．