对一道三角形面积最值题的解法探讨

原题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，且a+c=16.求ABC面积的最大值.

此题是甘志国老师率先提出，他在《数学通讯》论坛里发了他的解法，引起了不小的争论。解法如下：由正弦定理及题设可得BA+BC=16，所以点B在以A，C为焦点、长轴长为16的椭圆上，当点B从短轴的端点向长轴的端点移动时，ABC的面积S在减小.不妨设点B在椭圆弧上运动且∠BAC是锐角，得S随∠BAC的减小而减小.

事实上底边AC的长是随着点B的位置不同而变化的，而设AC的长不变，解出的结果似有不妥.

我的解法：

由于圆内接三角形的对称性，当AB取一有定义时的值时，对应着四种三角形（如图），解此题只需考虑这种情况：即固定A点，A，B，C三点在圆上按顺时针方向排列.它又分为两种情况：点B在AO连线下方与点B在AO连线上方.

当点B在AO连线上及其下方时，面积的最小值为0，最大值为16，此种情况不再赘述.下面只考虑另一种点B在AO连线上及其上方的情况：

当AB=4时，角B最小，角A为直角；当AB=8-2时，角B为直角；当AB=8时，角B最大，为钝角.

设AB=8-m，则m的范围为（-4≤m≤4），所以BC=8+m，三角形ABC的面积为：

f（m）=（8-m）（8+m）[（8-m）+（8+m）]

显然这个函数是个偶函数，只需证明m∈[-4，0]上的单调性即可.

事实上，当m∈[-4，-2]时，y1=（8-m）（8+m）是增函数，且y1>0；角B由锐角增大为直角，所以y2=sinB也是增函数，且y2>0.

所以f（m）在m∈[-4，-2]上一定是增函数，函数值最大为28.

因此，只需证当m∈[-2，0]上，函数为增函数.

由于y1=（8-m）（8+m）在m∈[-2，0]上是增函数，而y2=sinB在m∈[-2，0]上是减函数，

当m∈[-2，0]时，函数f（m）的单调性不好判断，求导又不便，因而需要进行适当的转化.

考虑到g（m）=sinB，当m∈[-2，0]时是减函数，且值域为[，1]，而h（m）=，当m∈[-2，0]时也是减函数，且值域为[，1]，且恒有g（m）≥h（m）>0，仅当m=-2时，g（-2）=h（-2）=1，

可用F（m）=g（m）×h（m）=替代f（m）来证明m∈[-2，0]时的单调性.

F′（m）=，m∈[-2，0]时，F′（m）≥0，f（m）在m∈[-2，0]上是增函数，结合第一种情况，ABC面积的最大值为≈31.8.