量子光学中的蒙特卡洛方法研究

时间:2022-08-12 07:33:48

量子光学中的蒙特卡洛方法研究

摘要:研究量子光学现象,通常归结为研究光场与原子的相互作用问题。在本文中,我们利用蒙特卡洛方法模拟了单原子系统的演化过程。我们将单原子系统的演化分为非厄米哈密顿量作用下的演化和随机性的量子跃迁,并在这两个过程进行的每一个时间步长后对波函数进行归一化。根据产生随机数的“指示”,得到了原子系统单次和系综平均后所经历的演化过程。

关键字:量子光学,蒙特卡洛方法

中图分类号:O242 文献标识码:A文章编号:1672-3791(2015)05(c)0000-00

1引言

量子光学是以辐射的量子理论研究光的产生、传输、检测及光与物质相互作用的学科,它最初是从量子电动力学理论中发展、演变而来的。它既是量子电动力学理论的一个重要分支,又是激光全量子理论深入发展的结果。同时,量子光学还构成一门新兴的应用基础性学科―光子学的理论基础。

20世纪60年代激光的问世大大地推动了量子光学的发展,在激光理论中建立了半经典理论和全量子理论。半经典理论把物质看成是遵守量子力学规律的粒子集合体,而激光光场则遵守经典的麦克斯韦电磁方程组。在全量子理论中,把激光场看成是量子化了的光子群,这种理论体系能对辐射场的量子涨落现象以及涉及激光与物质相互作用的各种现象给予严格而全面的描述。对激光的产生机理,包括对自发辐射和受激辐射更详细的研究,以及对激光的传输、检测和统计性等的研究是目前量子光学的主要研究课题[1]。

研究量子光学现象,一般总是归结为研究光场与原子相互作用问题。在很多场合下,可以看做是二能级原子与光场的相互作用。当光场或原子或光场与原子组成的系统有能量损失的时候,通常采用热库理论,即将该系统能量的损失认为是与外界作用的结果,这作用外界比较大,但对其状态一般不加细致研究,只认为其自由度远比系统多,因此称为热库。处理热库与系统的相互作用常有两种方法,一是在相互作用绘景或薛定谔绘景中,将整个系统的密度算符方程对热库变数求迹,给出系统约化密度算符满足的主方程,将热库变数消去,然后利用密度算符的准几率表示,将主方程转化为C数的福克―普朗克方程,最后求解;二是在海森堡绘景(算符变化,态矢不变)中通过噪声算符将热库作用转变为随机力,引入量子的朗之万方程,然后再求解[2]。

近年来,蒙特卡洛(Monte Carlo)方法,或称计算机随机模拟方法,被引入量子光学中来研究小系统与热库耦合的模拟演化。蒙特卡洛方法是一种基于“随机数”的计算方法。为了得到具有一定精确度的近似解,所需试验的次数是很多的,通过人工方法作大量的试验相当困难,甚至是不可能的。因此,蒙特卡洛方法的基本思想虽然早已被人们提出,却很少被使用。直至电子计算机的出现,使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程,把巨大数目的随机试验交由计算机完成,并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础的一种方法,由于它能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程,解决一些数值方法难以解决的问题,因而该方法的应用领域日趋广泛。

在本文中,我们将主要讨论在量子光学中,如何利用蒙特卡洛波函数方法来模拟单个原子系统的演化过程,并给出了二能级原子在蒙特卡洛波函数方法模拟过程中的单次演化以及其系综平均后的演化过程。

2理论推导

用蒙特卡洛方法模拟波函数的演化,可以把系统的演化分解为几种可能的波函数,在 时间内,原子有可能发生跃迁,假设发生跃迁的概率为 ,跃迁到各个可能态的概率分别为 ,那么波函数在这段时间内究竟选择何种波函数,我们就可以用蒙特卡洛波函数方法来模拟。

首先,在[0,1]区间内产生随机数ε,如果ε> ,说明波函数没有发生跃迁;如果ε< ,说明发生了量子跃迁,进一步的,通过判断ε落入哪一个概率区间,可以判断发生了何种跃迁。这就是用蒙特卡洛方法模拟随机数演化的基本思想。

一个小系统的蒙特卡洛波函数演化包括两个过程:非厄米哈密顿量作用下的缓慢演化和随机性的量子跃迁,并在这两个过程进行的每一个时间步长后对波函数进行归一化[3-5]。

假设在t时刻二能级原子的状态可以用如下波函数表示:

(1)

我们容易得到,在 时间内,发生跃迁的几率为 (其中, 是单位时间的跃迁几率)由于 非常小,故在观察的时间内,跃迁的几率还是非常小的。为了确定波函数的演化方向,我们在[0,1]内取均匀分布的随机数ε,一般情况下 ,对应的是没有跃迁的情况,这时只有波函数的演化,哈密顿量为

(2)

是激光的频率和原子跃迁频率的差; 是拉比频率,表征着偶极子 的原子和光场的耦合。在哈密顿量的作用下,波函数演化

如果 ,对应发射一个光子的情况。这时候,原子产生自发辐射,跃迁到基态

重复以上过程,我们就可以来模拟波函数随时间的演化过程[4]。

3结果分析与讨论

本节中,我们利用蒙特卡罗波函数方法来模拟原子初始分别处于基态 (图1)、激发态 (图2)以及叠加态(图3)时,原子处于激发态的布局数随时间的演化过程。在以下各图中,我们令 来表示原子处于激发态的布局数。为了计算方便我们取相应的参数 。

图1:单次模拟过程,原子处于激发态的布局数随时间的演化,原子初始处于基态 ,相应参数为

图2:单次模拟过程,原子处于激发态的布局数随时间的演化,原子初始处于激发态 ,相应参数为

图3:单次模拟过程,原子处于激发态的布局数随时间的演化,原子初始处于叠加态,相应参数为

在图1、图2和图3中,大致描绘了系统处于激发态的几率随时间的演化过程。由于原子的跃迁是一个随机过程,某一时刻是否拥有较大几率不能保证在此时刻发生跃迁,这可以从图中直接的显现出来。断点处代表原子在此刻发生了跃迁,波函数迅速回到基态。容易理解,初态的改变并不影响演化的大致行为。

上面讨论的是一个二能级原子系统在单次随机过程中的波函数演化,重复以上操作N次然后求系综平均,就可以得到一个二能级原子系统的演化过程。在图4和图5中,我们给出了原子处于基态(图4)和激发态(图5)时激发态的布局数随时间的演化过程。

由图4和图5可以看出,随着演化过程的进行,系统处于激发态的几率首先呈现一定的振荡趋势,最后逐渐趋于0.5。跃迁几率也趋于稳定。

图4:系综平均之后,原子处于激发态的布局数随时间的演化,原子初始处于基态 , 运行次数 ,相应的参数分别为

图5:系综平均之后,原子处于激发态的布局数随时间的演化,原子初始处于激发态 ,运行次数 ,相应的参数分别为

4总结

近年来,量子光学领域已取得了一系列重大进展和辉煌成就,量子光学的研究对象之一就是小系统与耗散场的相互作用。在本篇论文中,我们运用蒙特卡洛模拟方法分析了单原子系统在耗散场中的演化情况。此演化过程包括两个部分:非厄米哈密顿量的演化和随机性的量子跃迁,并在每个时间步长后对波函数进行归一化。这样,我们得到了任意时刻系统的波函数。从得到的图中可以直观的看出系统跃迁发生的时间点以及跃迁几率的变化趋势。最后,我们还给出了系综平均后原子系统的演化过程。

参考文献:

[1] M.Orszag. Quantum Optics Including Noise Reduction, Trapped Ions, Quantum Trajectories, and Decoherence [M]北京:科学出版社,2007.5-7.

[2] 杨伯君.《量子光学基础》[M]北京:北京邮电大学出版社,1996.22-26.116.

[3] K.Mǒlmer, Y.Castin, J.Dalibard. Monte Carlo wave-function method in quantum optics[J]J.Opt.Soc.Am.A 10,524(1993).

[4] J.Dalibard, Y.Castin, K.Mǒlmer. Wave-Function Approach to Dissipative Processes in Quantum Optics[J]Phys.Rev.Lett.68,580(1992).

[5] H.J. Carmichael, An Open System Approach to Quantum Optics, Lecture Notes in Physics(Springer,Berlin,Heidelberg,1993); also: L.Tian, H.J. Carmichael, Phys.Rev.A 46,6801(1992).

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