曲线运动中的极值

在物理状态发生变化的过程中，某一个物理量的变化函数可能不是单调的，它可能有最大值或最小值，这就是极值问题. 极值问题通常具有一定的隐蔽性，解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出达到极值的条件.

分析极值问题的思路有两种：一种是把物理问题转化为数学问题，从数学角度去讨论或求解某一个物理函数的极值，采用代数、三角、几何等数学方法；另一种是采用物理分析法，根据物体在状态变化过程中受到的物理规律的约束、限制来求极值.

圆周运动中的极值

圆周运动中可能出现由于加速度变化而导致的极值情况. 加速度是由力提供的，加速度达到一定值时受力可能会发生变化.

例1 如图1所示，长为[L]的绳子，下 [ 图1] 端连接质量为[m]的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角[θ=600]，此时小球静止于光滑的水平桌面上，当小球以[ω=gl]或[ω=4gl]做圆锥摆运动时，讨论绳子上的弹力[T]和对桌面的压力[N].

解析 当球以[O]为圆心，以[r=Lsinθ]为半径在光滑地板上做圆周运动时，受[mg、T、N]作用. 设角速度为[ω0]时，地面对球的弹力[N=0]，有

[Tcosθ=mgTsinθ=mω20r]，[解得ω0=2gl]

若[ω=gl

[Tcosθ+N=mgTsinθ=mω2r]，解得[N=3mg4， T=mg]

若[ω=4gl>ω0]，球将飘离桌面做匀速圆周运动，设绳与轴线的夹角为[β]，则[Tcosβ=mgTsinβ=mω2r]，解得[T=4mg.]

点拨 转动中角速度增大，也会引起向心加速度、向心力及受力的变化 [ 图2].

例2 如图2所示，直杆上[O1O2]两点间距为L，细线O1A长为[3L]，O2A长为L，A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？

解析 当[ω]较小时线[O1A]拉直，[O2A]松弛，而当[ω]太大时[O2A]拉直， [O1A]松弛.

设[O2A]刚好拉直，但[FO2A]仍为零时角速度为[ω]1，此时[∠O2O1A=30°]，对小球，有

在竖直方向[FO1A]・cos30°=mg ①

在水平方向[FO1A]・sin30°=[mω213L?sin30°] ②

由①②得[ω1=2g3L]

设[O1A]由拉紧转到刚被拉直，[FO1A]变为零时角速度为[ω2]，对小球，有

[FO2A]・cos60°=mg ③

[FO2A]・sin60°=[mω22L]・sin60° ④

由③④得[ω2=2gL]. 故[2g3L

点拨 本题的极值是由于两根绳的不同可能性决定的. 绳可能会有松驰、拉直、拉紧等状态，对应的受力不一样.

例3 如图3所示的转架，长L的杆臂与竖直轴间固定，夹角θ=45°，杆臂下端固定质量为[m]的重球，当杆臂随竖直轴一起以角速度[ω1=2gL]和[ω1=g2L]匀速转动时，求杆臂对球的作用力.

图3 图4

解析 设角速度为[ω0]时，杆臂对球的作用力[F0]为恰沿杆向，如图4所示，则

[F0sinθ=mω20LsinθF0cosθ=mg]

得到[ω0=gLcosθ=2gL]

若[ω1=2gL]>[ω0]，所需向心力较大，则杆臂对球的作用力[F1]指向杆内侧，如图5所示，设与水平夹角为[α]，则

[F1cosα=mω21Lsin45°F1sinα=mgω21=2gL]得到[cotα=ω21Lg×22=2]

[sinα=1cosα=1cot2α+1=13]，[F1=mgsinα=3mg]

图5 图6

若[ω1=g2L]

[F2cosβ=mω21Lsin45°F2sinβ=mgω22=g2L]

得到[cotβ=ω22Lg×22=24]，[F2=324mg].

点拨 杆的弹力作用不同于例2中的线绳，杆端弹力既可产生拉力，还可产生推力，方向不一定沿杆向.

平抛运动中的极值

例4 如图7所示，[AB]为斜面，倾角为30°，小球从[A]点以初速度[v0]水平抛出，恰好落在[B]点，求：

（1）[AB]间的距离和物体在空中飞行的时间；

（2）从抛出开始经多长时间小球与斜面间的距离最大.

解析 （1）小球从[A]点抛出后做平抛运动，由题意，有

在水平方向上下落的高度[h=LABsin30°=12gt2]

在水平方向上飞行的距离[x=LABcos30°=v0t]

由以上两式得[LAB=4v203g]，[t=2v0tan30°g=23v03g.]

图7 图8

（2）当小球的速度方向平行于斜面时，离斜面最远. 建立如图8所示的坐标系，将[v0]和重力加速度[g]分别沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解，当物体速度在垂直于斜面方向为零时与斜面间的距离最大，有

[vx=v0cosθ]

[vy=v0sinθ]

[ax=mgsinθm=gsinθ]

[ay=-mgcosθm=-gcosθ]

在[x]方向，小球做匀加速运动. 在[y]方向，小球做类竖直上抛运动.在[y]轴上小球做先匀减速直线运动，当沿垂直于斜面的速度[vy=0]时，距离斜面最远，即[v0sin30°-gtcos30°=0]，求得[t=3v03g.]

点拨 本题采用常规的沿水平和竖直方向建立坐标系也可以求解，但数学运算繁杂.建立斜坐标系分解平抛运动，可发现小球离开斜面最远的条件是沿垂直斜面方向的速度为零，应用运动学公式即可求出小球离开斜面的最远距离.