多结点力矩分配精确值求解法

摘要：介绍多结点力矩分配快速精确值求解法的求解原理：在控制点处施加未知附加力矩，根据力矩分配与传递原则在该点建立力矩平衡方程，解出未知力矩并带入，再经一轮力矩分配与传递，便可得到杆端弯矩精确解。与传统渐近法求解过程进行比较，并举例说明该方法在多结点力矩求解问题中的应用。

关键词：力矩分配法；多结点力矩；快速； 精确

正文：

力矩分配法通过“先锁”、“后松”、“叠加”三个步骤实现单刚结点的多结点线位移结构的杆端弯矩的精确值求解。对于具有多结点的连续梁和无结点线位移刚架，采用渐近法逐次放松每一个结点，应用单结点力矩分配的运算方法，逐步渐近求出最后杆端弯矩。由于所求结果为近似值，为达到较好的精度需要对各结点进行两到三个循环的运算。计算量相对较大，且只能得到近似解。本文介绍一种基于力矩分配法，对多结点问题能快速并精确求解的方法。

1.基本原理：

下面通过图1-a所示三跨连续梁（图中虚线为变形曲线）为例来说明多结点力矩分配精确值求解法的基本原理。

第一步：先在结点B、C加附加钢臂，约束各结点转动，然后再将荷载 后加到B、C跨上。这时，约束把连续梁分成三根在结点B、C为固端的单跨梁。各单跨梁的变形如图1-b中虚线所示。这时，杆BC两端有固端弯矩 和 ，结点B、C有约束力矩 和 。

第二步：结点C仍锁住，放松结点B的钢臂约束，此时继续沿放松方向施加一个追加约束 ，即在结点B加一个力偶荷载 ，再对结点B进行力矩分配，并向A、C杆端进行传递。变形图如图1-c虚线所示。

第三步：将转动到新位置上的结点B再次固定。然后释放结点C，即在结点C加一个力偶荷载 （ ），在结点C进行力矩分配，同时结点B、D杆端有第一次弯矩传递。通过控制 的大小，能保证B杆端第一次获得的传递弯矩大小等于 ，此时对B固定的钢臂不再对结构有力的约束，即结构自身达到平横，回到图1-a中的初始受力变形状态，力矩分配结束。

小结：此方法关键在于根据 、 以及B、C两点的分配系数和和传递系数得出 的通式。下面将通过数学推导，求出 的通式。

2.公式推导：

① 对B点分配力矩：

② B点力矩传递至C点：

③ 对点C分配力矩：

④ C点力矩传递至B点：

由 ，将④式代入得：

由于 的值只与B、C结点有关，此法适用于所有双结点连续梁力矩求解问题。对于多于双结点情况，可照此法推导。

在此给出三结点情况下 的通式：

公式虽然复杂，但规律性强，方便记忆，仍具有相当的实用意义。

对于超过三结点 公式的推导设计多元一次方程求解，且解出的 通式庞大，与渐近法求解相比，不再具有实用的优越性，在此不给予列出。

3.具体问题应用：

分析图2-a所示连续梁力矩

3.1精确值求解法

⑴锁住结点B、C求各杆的固端弯矩。

⑵锁住C点，放松B，同时沿放松方向施加一个追加约束 。

由题可得：

由 的通式得：

对B结点进行弯矩分配：

将B点弯矩进行传递：

⑶对C点进行弯矩分配：

将C点弯矩进行传递：

经过一轮的分配和传递，各结点都已平衡。

表示结果见图2-b：

3.2渐近法求解：

⑴锁住结点B、C，求各杆的固端弯矩（步骤同上）

⑵选放松结点B（此时结点C仍被锁住），按单结问题进行分配和传递。在结点B加一个 的力偶荷载，进行力矩分配（各结点力矩分配，传递系数同上）

对B点进行弯矩分配：

对B点的弯矩进行传递：

⑶重新锁住结点B，并放松结点C。

放松结点C，等于在结点C新加一力偶荷载 进行力矩分配。

同时将它们向各自的远端传递：

此时，结点C已经平衡，但结点B又有新的约束力矩。以上完成了力矩分配法的第一个循环。

⑷重复上述计算步骤进行第二、三…循环，直至结点约束力矩缩小到误差允许范围内时，计算工作可以停止。

表示结果见图2-c

小结：由精确值求解法的计算结果图（图2-b）与渐近法计算结果图（图2-c）对比可得：精确值求解法计算过程简便，只经历一轮计算便可得精确解；渐近法计算过程繁琐，经历了三个周期的计算后仍不能达到高精度的求解。

结束语：

本文在使用力矩分配法求解多结点问题时，在第一次释放结点约束后，再沿放松方向施加一个追加约束 ，使该结点在第一次获得传递弯矩时达到平衡，从而使整个结构提前完成力矩分配。通过对比发现，精确值求解法在求解二、三结点连续梁弯矩时，有着传统渐近法不可比拟的优越性。能大幅度地减少运算量并实现精确求解，是一种值得推广的方法。