电场和磁场控制带电粒子运动的实例分析

随着高考改革的深入，一些联系实际、实用性很强的试题越来越多。与电场和磁场相关的电场力和洛伦兹力的综合运用问题是常见的一种。本文精选出典型实例进行归类分析，供读者参考。

1 电场和磁场"拼接起来"对带电粒子作用

实例1、质谱仪

例1 如图1所示是测量带电粒子质量的仪器―质谱仪的工作原理示意图。设法使某有机化合物的气态分子导入图1中所示的容器A中，使它受到电子束轰击，失去一个电子成为正一价的分子离子。分子离子从狭缝S1以很小的速度进入电压为U的加速电场区（初速度不计）加速后，再通过狭缝S2、S3射入磁感应强度为B的匀强磁场（方向垂直于磁场区的界面PQ）中。最后，分子离子打到感光片上，形成垂直于纸面且平行于狭缝S3的细线。若测得细线到狭缝S3的距离为d。请导出分子离子的质量m的表达式。

解析 若以m、q表示离子的质量和电量，用v表示离子从狭缝S2射出时的速度，粒子在加速电场中，由动能定理得12mv2=qU(1)

射入磁场后，在洛伦兹力作用下离子做匀速圆周运动，由牛顿定律可得qvB=mv2R(2)

式中R为圆的半径。感光片上细黑线到S3缝的距离为：d =2R(3)

联立(1)~(3)式，解得m=qB2d28U

实例2、显像管

例2 显像管的简要工作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场（电压为U）加速后，进入放置在其颈部的偏转线圈形成的偏转磁场中偏转，偏转后的电子轰击荧光屏，荧光粉受激发而发光， 图2-a为电视机显像管原理简图。一同学家中电视机画面的幅度偏小，维修店的技术人员检查后诊断为显像管或偏转线圈出了故障（显像管与偏转线圈如图所示2-b），试分析引起故障的原因可能是

A.电子枪发射的电子数减少。

B.加速电场的电压过高，电子速度偏大。

C.偏转线圈的电流过小，偏转磁场减弱。

D.偏转线圈匝间短路，线圈匝数减少。

解析 电灯丝发出的电子（速度视为零）经加速电压U加速，由动能定理有：

eU=12mv2（1）

通过偏转线圈时（视为匀强磁场处理）有

r=mveB(2)

由(1)、(2)式解得r=1B2mUe（3）

电子经过偏转线圈的运动轨迹示意图如图3实线所示，竖直线BO为荧光屏。可见，偏转半径r越大，偏转量越小，荧光屏上的画面幅度越小。应选项B、C、D正确。

实例3、环形加速器

例3 如图4(a)所示为一种获得高能粒子的装置--环形加速器，环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场。质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两极板间的电场中得到加速。每当粒子离开时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。

⑴设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并开始绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能En。

⑵为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时的磁感应强度Bn。

⑶求粒子绕行n圈所需的总时间tn（设极板间距远小于R）。

⑷在图4(b)中画出A板电势u与时间t的关系（从t=0起画到粒子第四次离开B板）。

⑸在粒子绕行的整个过程中A板电势是否可始终保持+U？为什么？

解析⑴因粒子每绕行一圈，其增加的能量为qU，所以，绕行第n圈时获得总动能为En = nqU

⑵由⑴可求得第n圈的速度，

由12mv2n=nqU，得vn=2nqUm

在磁场中，由牛顿定律得qBnvn=mv2nR

即Bn=1R 2nmUq

⑶粒子始终保持做半径为R的匀速圆周运动，所以第一圈的时间t = 2πR/v,显然因粒子能量不同，其速度也不同，粒子在第一圈运动时，有12mv21=qU 即：v1=2qUm

同理，粒子在第二圈运动时，有12mv22=2qU 即：v2=2・2qUm

第n圈的速度为vn=n・2qUm

故绕行n圈所需总时间为t=t1+t2+……+tn=2 πRv1+2πRv2+…+2πRvn

即t=2πR=m2qU(1+12+13+…+1n)

⑷A极电势U随时间t变化的图象如图5所示。

⑸不可以，因为这样会使粒子在A、B两极板之间飞行时，电场力对其做正功+qU，从而使之加速，在A、B板之外（即回旋加速器内）飞行时，电场又对其做负功 - qU，从而使之减速。粒子绕行一周电场对其所做总功为零，能量不会增加。

实例4、回旋加速器

例4 回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，它的核心部分是两个D型金属扁盒，如图6所示，盒正中间开有一个窄缝，在两个D形盒之间加交流电压，于是在缝隙中形成交变电场，由于电屏蔽作用，在D型盒内部电场很弱。D型盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D型盒的底面。

回旋加速器的工作原理如图7所示。放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率V0垂直进入匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动。经过半个周期，当它沿着圆弧A0A1到达A1时，在A1A1′处造成一个向上的电场，使这个带电粒子在A1A1′受到一次电场加速，速率由V0增加到V1。然后粒子以速率V1在磁场中做匀速圆周运动。我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子沿着半径增大了的圆周运动。又经过半个周期，当它沿着半圆弧A1′A2′到达A2′时，在A2′A2处造成一个向下电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到V2。如此继续下去，每当粒子运动到窄缝处时都使它受到电场的加速，粒子将沿着图示螺线A0A1A1′A2′A2……回旋下去，速率将一步一步地增大。

已知回旋加速器的D型盒半径为R=60cm。两盒间距1cm，用它加速质子时可使每个质子获得4MeV的能量，加速电压为U=2×104V。求（1）该加速器中偏转磁场的磁感应强度；（2）质子在D型盒中运动的时间t；（3）整个过程中，质子在运动的总时间 。

解析 （1）因为质子动能EK=12mv2，所以质子速度v=2EKm；

质子离开加速器时Bqv=mv2R

得B=mvRq=1Rq2mEK=0.47(T)

(2)质子经过加速电场速度不断被加速，作圆周运动的半径不断增大，依次为：

R1=2m・qUBq，R2=2m・2qUBq，……，Rn=2m・nqUBq。

由于Rn=R，所以n=B2q2R22mqU=B2qR22mU而圆周运动的周期T=2πmBq

这样可求得质子在D型盒中运动的时间为t=n・T2=πBR22U=1.39×10-5（s）

（3）质子第一次被加速后：qU=12mv21 得v1=2qUm

质子第二次被加速后：2qU=12mv22 得v2=4qUm

……

质子第n次被加速后：2nqU=12mvn2 得v2=2nqUm

这样t1=2dv1，t2=2dv1+v2，……

质子在电场中加加速的时间t''=t1+t2+…

显然，在整个过程中，质子在电场中运动的总时间为t总=t''+t=1.45×10-7（S）

2 电场和磁场“重叠起来”对带电粒子的作用

实例5、速度选择器

例5 在图8所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。具有某一水平速度v的带电粒子，将沿着图中所示的虚线穿过两板间的空间而不发生偏转，具有其他速度的带电粒子将发生偏转。这种器件能把具有上述速度v的带电粒子选择出来，所以叫速度选择器。如果已知粒子A（重力不计）的质量为m、带电量为+q，两极板间距为d，磁场的磁感应强度为B。

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（1）试证明带电粒子具有速度v=EB时，才能沿着图示的虚线路径通过。

（2）若粒子A从图8的右端两极板中央以-v入射，还能直线从左端穿出吗？为什么？若不穿出而打在极板上，则到达极板时的速度是多少？

（3）若粒子A的反粒子（-q，m）从图8的左端以v入射，还能直线从右端穿出吗？

（4）将磁感应强度增大到某值，粒子A将落到极板上，粒子落到极板时的动能为多少？

解答 ⑴带电粒子A进入场区后，受到库仑力F1=Eq和洛伦兹力F2=Bqv的作用，如果带电粒子穿过两板间做匀速直线运动不发生偏转，应有F1=F2，即 Eq=Bqv。所以v=EB。

（2）粒子A在选择器的右端入射，电场力与洛伦兹力同方向，因此不可能直线从左端穿出，一定偏向极板。若粒子打在极板上，由动能定理得qE・d2=12m(v'2-v2)

由于E = BV，所以v'=v2+qBdvm。

（3）仍能直线从右端穿出，有（1）可知，选择器（B，E）给定时，与粒子的电性、电量无关，只与速度有关。

（4）增大磁感应强度B为B'后，有F2 >F1，即qvB > qE，因此粒子A将偏向下极板，最终落到下极板。

由动能定理-qE・d2=12m(v''2-v2)

得Ek'=12mv''2=12mv2-12qEd=12mv2-12qBvd

实例6、磁流体发电机

例6 目前世界上正在研究的一种新型发电机叫做磁流体发电机。这种发电机可以直接把内能转化为电能，它的发电原理是：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而从整体来说呈中性）喷射入磁场，磁场中A、B金属板上会聚集电荷，产生电压，设A、B两平行金属板的面积为S，彼此相距L，等离子体气体的电导率为σ（即电阻率的倒数），喷入速度为v，板间磁感应强度B与气流方向垂直，与板相连的电阻阻值为R，如图9所示，问流过R的电流I为多少？

解析 磁流体发电机电动势为外电路断开时电源两极间的电势差，当等离子体匀速通过A、B极板时，A、B两板间的电势差达到最大。设等离子体每个微粒的电量为q，则当等离子体匀速通过A、B两板时，有qvB=qE

电源电动势为ε=EL=vBL

电源内阻为r=ρLS=LσS

根据全电路欧姆定律，流过R的电流为I=εR+r=vBLR+LσS=vBLσSL+RσS。

实例7、电磁流量计

例7 电磁流量计是对管道内部流体流动没有任何阻碍的仪器，广泛应用于测量高粘度及强腐蚀性流体的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。假设流量计是如图10所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线），流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现在流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面与串接了电阻R的电流表的两端连接，I为测得的电流值。已知液体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为

A.IB(bR+ρca) B.IB(aR+ρbc)

C.IB(cR+ρab) D.IB(R+ρbca)

解析 当导电液流动时，流体中定向移动离子受洛仑兹力作用，在上下金属板上就会聚集电荷，产生电场。当导电液匀速运动达到稳定时，设导电液中离子的电量为q，运动速度为v，稳定时，有qvB = qE，所以此时上下两极板及其内部流体可认为是一电源，该电源的电动势为：ε = Ec= vBc

根据电阻定律，电源内阻为r=ρcab

由全电路欧姆定律I=εR+r=BVcR+ρcab

解得IBC(R+ρcab)

故流量为Q=Sv=（ab）IBc(R+ρcab)=IB(bR+ρca)

即选项A是正确的。

实例8、电磁泵

例8 在原子反应堆中抽动液态金属或在医疗器械中抽动血液等导电液体时，由于不允许传动的机械部分与这些液体相关接触，常使用一种电磁泵，图11为这种电磁泵的结构。将导管放在磁场中，当电流穿过导电液体时，这种液体即被驱动。问：

⑴这种电磁泵的原理是怎样的？

⑵若导管内截面积S=bh，磁场视为匀强磁场，宽度为L，磁感应强度为B，液体穿过磁场区域的电流强度为I，求匀强磁场区域内长度为L的导管两端形成的压强差为多少？

解析 ⑴这种电磁泵的原理是：当电流流过液体时，液体即成为截流导体，在磁场中将受到磁场力的作用，力的方向由左手定则判定知，液体将沿图中V方向流动。

⑵设驱动力形成的压强差为p，则有p・S=F

即p・bh = IhB

所以p=BI / b

实例9、磁强计

例9 磁强计实际上是利用霍尔效应来测量磁感应强度B的仪器。其原理可解释为：如图12所示的一块导体接上a、b、c、d四个电极，将导体放在匀强磁场之中，a、b间通以电流I，c、d间就会出现电势差，只要测出这个电势差U的值，就可测得磁感应强度B。试推导B的表达式。

解析 设c、d间电势差已达到稳定，则U=Eh，此时导电的自由电荷受到的电场力与洛伦兹力相平衡，即 其中v为定向移动的速度。

由此可知：B=Ev=Uhv。

我们知道导体中的电流I=nqSv=nqhdv，其中S为导体横截面积，n为单位体积内的自由电荷数。得到v=Inqhd。

所以磁感应强度B=nqdUI。使用时，只要将装置先在已知磁场中定出相关系数，就可通过测定U便来确定B的大小了。

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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